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浙江省杭州市萧山二中2012-2013学年高一下学期期中考试数学试卷Word版含答案


2012 学年第二学期期中考试题卷

学科: 数学 满分: 100 分考试时间: 90 分钟 命题人: 陈维波 审核人: 瞿湖海 考生须知:1、本卷共 3 页;
2、答题前请在答题卷密封线内填好相关栏目。
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四项中,只有一项

是符合题目要求的.

1.在等差数列{an}中,若 a1+a2+a12+a13=24,则 a7 为( )

A.6

B.7

C.8

D. 9

2.已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn 表示{an}的前 n 项的和,若 a1=3,a2a4=144,则 S5

的值是( )

A.629

B.69

C.93

D.189

3.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6=( )

A.3×44

B.3×44+1

C.45

D.44+1

4. sin 330 等于( )

A.— 3 2

B.— 1 2

C. 1 2

D. 3 2

5.已知 f (? ) ? sin(? ?? ) cos(2? ?? ) ,则 f (? 31? ) 的值为( )

cos(?? ?? ) tan?

3

A. 1 2

B. ? 1 3

C. ? 1 2

D. 1 3

6.已知函数 y ? A sin( ?x ? ? ) ? m 的最大值为 4,最小值为 0,两条对称轴间的最短距离为

? ,直线 x ? ? 是其图象的一条对称轴,则符合条件的解析式是( )

2

6

A. y ? 4 sin( 2x ? ? ) 6

B. y ? ?2 sin( 2x ? ? ) ? 2 6

C. y ? ?2 sin( x ? ? ) ? 2 D. y ? 2 sin( x ? ? ) ? 2

3

3

7. 要得到函数 y ? 3cos(2x ? ? ) 的图象,可以将函数 y ? 3sin 2x 的图象( ) 4

A.沿 x 轴向左平移 ? 个单位 8

B.沿 x 向右平移 ? 个单位 8

C.沿 x 轴向左平移 ? 个单位 4

D.沿 x 向右平移 ? 个单位 4

8.已知

cos(? sin(?

? 2? ) ??)

?

?

2
2 ,则 cos? ? sin? 等于(

)

4

?7 A. 2

7 B. 2

1 C. 2

?1 D. 2

9.函数 f(x)=sin???x+π3 ???+asin???x-π6 ???(a>0)的一条对称轴方程为 x=π2 ,则 a 等于( )

A.1 B. 3 C.2 D.3

10.在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD,则 sinC 的值( )

A.

3 3

B.

3 6

C.

6 3

D.

6 6

二、填空题:本大题有 6 小题, 每小题 4 分, 共 24 分. 请将答案填写在答题卷中的横线上.

11. cos130 cos1330 ? sin130 sin 470 ?



12.已知数列{an}中,a1=12,an+1=1-a1n(n≥2),则 a2014=________
13.函数 f(x)=cos 2x+sin x 的最小值是________ 14.函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的部分图象如下图所示,则

f (1) ? f (2) ? f (3) ?? ? f (11) 的值等于

15.若 sin(?+?)= 3 ,sin(?-?)= 1 ,则 tan? =________

5

5 tan?

16.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80o 处,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2km, B 船在灯塔 C 北偏西

40o 处, A 、 B 两船间的距离为 3km,则 B 船到灯塔 C 的距离为____________km

三、解答题:本大题有 4 小题, 共 36 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤

17.已知函数 f (x) ? sin x cos x ? cos2 x ?1

22

2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期及单调递减区间

(Ⅱ)求函数 f (x) 在[ ? , ??] 上的最小值 ??

18.设函数 f (x) ? sin x sin(? ? x) ? cos2 x ,在△ABC 中,角 A、B、C的对边分别为 a,b,c 2
(Ⅰ)求 f (x) 的最大值 (Ⅱ)若 f ( A) ? 1, A ? B ? 7? , b ? 6 ,求 A 和 a
12

19.设 ?ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c, 且 a cos C ? 1 c ? b . 2
(Ⅰ)求角 A 的大小 (Ⅱ)若 a ? 1, ?ABC 的周长用角 B 表示并求周长取值范围

20.已知数列{an } 的前 n

项和为

Sn

,通项 an

满足

Sn an ? 1

?

q (q q ?1

是常数,q

?

0

且q

?

1 )。

(Ⅰ)求证数列 {an } 为等比数列并求通项公式

(Ⅱ)当 q

?

1 4

时,证明 Sn

?

1 3

(Ⅲ)设函数 f (x) ? logq x, bn ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? f (an ) ,若

1? 1 ? b1 b 2

1 bn

?

m 3

(m

?

N

*

)



n

?

N

*

都成立,求正.整.数.m

的值

2012 学年第二学期期中考试参考答案及评分标准

一、选择题(共 10 个小题,每小题 4 分) 题1 2 3 4 5 6 7 8 9 1



0

答ACA B CBADB D



二、填空题(共 6 个小题,每小题 4 分)

11、 ? 1 12、 1

2

2

三、解答题

13、 ?2

14、 2 ? 2 2

17.解:(Ⅰ) f (x) ? sin x cos x ? 1? cos x ?1 22 2

? 1 sin x ? 1 cos x ? 1

2

2

2

15、 2

16、 6 ?1

? 2 sin(x ? ?) ? 1 .

2

42

……………………………………………2 分

所以函数 f (x) 的最小正周期为 2? .

…………………………………………4 分

由 2k? ? ? ? x ? ? ? 2k? ? 3? , k ? Z ,则 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 5? .

2

4

2

4

4

函数

f

(

x)

[2k?
单调递减区间是

?

? , 2k? ? 5?]

4

4 ,k?Z.

………………………6 分

(Ⅱ)由 ? ? x ? ?? ,得 ? ? x ? ? ? 7? .

?

?2

44

则当 x ? ? ? 3? ,即 x ? 5? 时, f (x) 取

42

4

得最小值 ? 2 ?1 . 2
18.解:(1)因为 f (x) ? sin x sin(? ? x) ? cos2 x 2

…………………8 分
? sin x cos x ? cos2 x

= 1 [sin 2x ?1? cos 2x] 2
…………1 分

? 2 sin(2x ? ? ) ? 1 . …………2 分

2

42

所以,当 sin(2x ? ? ) ? 1,即 2x ? ? ? ? ? 2k? ,x ? k? ? ? (k ? Z ) 时, f (x) 取

4

42

8

得最大值,

…………3 分

其最大值为 2 ?1 . 2

…………4 分

(2)由 f ( A) ? 1得, 2 sin(2A ? ? ) ? 1 ? 1 ,即 sin(2A ? ? ) ? 2 . ……5 分

2

42

42

在 ?ABC 中,因为 A? (0,? ) ,所以 2A ? ? ? (? , 9? ) . 4 44

又 sin(2A ? ? ) ? 2 ? 0 , 所以 2A ? ? ? 3? , A ? ? .

42

44

4

又因为 A ? B ? 7? ,所以 B ? ? .

12

3

在△ ABC 中,由 a ? b 及 b ? sin A sin B

6 ,得

………6 分 ………7 分

a ? bsin A ? sin B

6? 2 2 ? 2.
3 2

…………9 分

19.解(Ⅰ)由 a cos C ? 1 c ? b 得 sin Acos C ? 1 sin C ? sin B …………1 分

2

2

又 sin B ? sin( A ? C) ? sin Acos C ? cos Asin C

? 1 sin C ? ? cos Asin C, 2
又 0 ? A ? ? ? A ? 2? 3

sin C ? 0,?cos A ? ? 1 2

…………2 分

…………4 分

(Ⅱ)由正弦定理得: b ? a sin B ? 2 sin B , c ? 2 sin C

sin A 3

3

l ? a ? b ? c ? 1? 2 ?sin B ? sin C ? ? 1? 2 ?sin B ? sin ? A ? B??

3

3

? 1? 2 (1 sin B ? 3 cos B) ? 1? 2 sin(B ? ? ) …………6 分

32

2

3

3

A ? 2? ,? B ? (0, ? ),? B ? ? ? (? , 2? ) , …………7 分

3

3

3 33

?sin(B ? ? ) ? ( 3 ,1] 32

…………8 分

故 ?ABC 的周长的取值范围为 (2, 2 3 ?1] . …………9 分 3

20.(Ⅰ)由题意

Sn

?

q q ?1 (an

?1)

,得

S1

?

a1

?

q q ?1 (a1

?1)

所以 a1 ? q

当 n ≥ 2 时, an

?

Sn

? Sn?1

?

q

q ?

1

(an

? an?1) ,所以

an an?1

?

q

故数列{an}是以 a1 ? q 为首项,公比为 q 的等比数列

…………3 分

所以 an ? q ? qn?1 ? qn

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当

q

?

1 4

时, an

?

1 4n

所以 Sn

?

1 4

(1 ?

1 4n

1? 1

)

?

1 (1? 3

1 4n

)

?

1 3

4

(Ⅲ)因为 f (x) ? logq x

…………4 分 …………6 分

所以 bn ? logq a1 ? logq a2 ? ? logq an ? logq (a1a2 an )

? logq (q ? q2 ? ? qn )

? logq q(1?2? ?n)
?1? 2? ? n ? n(n ?1)
2 所以 1 ? 2 ? 2(1 ? 1 )
bn n(n ?1) n n ?1

…………7 分

所以 1 ? 1 ? 1 ? 2(1? 1 ) ? 2n

b1 b2

bn

n?1 n ?1

…………8 分

由 2n ≥ m 对 n ? N ? 都成立,即 m ? 6n ? 6 ? 6 对 n ? N ? 都成立

n?1 3

n?1 n?1

须有

m

?

(6

?

n

6

?

) 1

min

而当 n ? N ? 时, 6 ? 6 随 n 的增大而增大 n ?1

所以 m ? 6 ? 6 ? 3 1?1

又 m 为正整数,所以 m 的值为 1,2,3

…………10 分

所以使 1 ? 1 ? 1 ≥ m 对 n ? N ? 都成立的正整数 m 的值为 1,2,3.

b1 b2

bn 3



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