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最新人教版高中数学选修2-1第二章《椭圆的简单几何性质》示范教案(第1课时)

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2.2.2 椭圆的简单几何性质 整体设计 教材分析 利用已知条件求曲线的方程,利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务, 利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次, 传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示 椭圆曲线,让学生观察、猜想椭圆的几何性质,然后再利用椭圆的标准方程进行证明,体现 从感性到理性符合学生的认知规律等, 也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路, 但 未能很好地体现“利用方程研究曲线性质”的本质. 因此, 本节在教学一开始的问题设置就 体现了利用方程研究曲线的意识,在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性 质,真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力.同时,根据椭圆的简单几何性质的课 时安排,第 1 课时不研究椭圆的离心率,保证了学生的研究时间;与直线方程和圆方程的类 比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点,学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元, 说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的,同时体现了教材的本质. 课时安排:本节内容共需约 3 个课时.第一课时主要讲性质 1~3;第二节讲性质 4 及 应用;第三课时讲直线与椭圆的有关问题. 第 1 课时 教学设计(一) 教学目标 知识与技能 掌握椭圆的范围、对称性、顶点,掌握 a,b,c 的几何意义以及 a,b,c 的相互关系, 初步学习利用方程研究曲线性质的方法. 过程与方法 利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次,通过初步尝试, 使学生经历知识产生与形成的过程, 不仅注意对研究结果的掌握和应用, 更重视对研究方法 的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养; 以自主探究为主, 通过体验数学发现和创造 的历程,培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力. 情感、态度与价值观 通过自主探究、交流合作使学生亲身体验探究的艰辛,从中体味合作与成功的快乐,由 此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气; 通过多媒体展示, 让学生体会椭圆方程结构 的和谐美和椭圆曲线的对称美,培养学生的审美习惯和良好的思维品质. 重点难点 教学重点: 从知识上来讲, 要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性 质;从学生的体验来说,需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现,如思维角 度和思维方法. 教学难点: 椭圆几何性质的形成过程, 即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆 的几何性质. 通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的教 学过程.学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点. 教学过程 引入新课 提出问题:方程 16x2+25y2=400 表示什么样的曲线,你能利用以前学过的知识画出它 的图形吗? 活动设计: 情形 1:列表、描点、连线进行作图,在取点的过程中想到了椭圆的范围问题; 情形 2:求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点,联想椭圆曲线的形状得到图形; 情形 3:方程变形,求出 a,b,c,联想椭圆画法,利用绳子作图; 情形 4:只作第一象限内的图形,联想椭圆形状,对称得到其他象限内的图形. 辨析与研讨:实物投影展示学生的画图过程,挖掘学生的原有认知,体现同学的思维差 异,培养学生的思维习惯. 设计意图:(1)问题设置来源于课本例题,选题目的有利于学生从多个角度进行思考和 探索,培养学生的发散思维,第一问的解决体现了对二元二次方程的研究,为利用方程研究 性质打下基础; (2) 课堂教学体现学生自主探究知识的过程,问题的设置体现了研究问题角度的转变 ——用方程研究曲线性质的问题,同时使学生意识到椭圆的几何特征:范围、对称性、关键 点; (3)实物投影展示学生的研究过程和研究成果,重在发现学生的思维差异和思维认识层 次; (4)辨析过程中重视学生的思维起点,通过彼此交流,发现问题,共同探讨,得到统一 的认识. 点评:(1)能够抓住椭圆的几何特征、范围、对称性、关键点作图; (2)研究问题的方向发生了变化,利用方程研究曲线的几何性质; (3)本节课我们利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质,体现特殊到一般的思想方 法. 教师板书:椭圆的简单几何性质. 探求新知 x2 y2 问题:学生思考:与直线方程和圆的方程相对比,椭圆标准方程 2 + 2=1(a>b>0)有什 a b 么特点? (1)椭圆方程是关于 x,y 的二元二次方程; (2)方程的左边是平方和的形式,右边是常数 1; (3)方程中 x2 和 y2 的系数不相等. 设计意图: 类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特点, 体现了 新旧知识的联系与区别, 符合学生的认知规律, 同时为利用方程研究椭圆曲线的几何性质做 好了准备. 【问题 1】自主探究:结合椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆曲线的范围. 实物投影展示学生的解题过程,激励学生开拓思维. 学生活动过程: x2 y2 y2 x2 情形 1: 2 + 2=1 变形为 2=1- 2 ≥0,x2≤a2 a b b a 这就得到了椭圆在标准方程下 x 的范围-a≤x≤a. 同理,我们也可以得到 y 的范围-b≤y≤b. ≤ -a≤x≤a. x2 y2 x y 情形 2:可以把 2 + 2=1 看成 sin2α+cos2α=1,利用三角函数的有界性来考虑 , 的 a b a b 范围. ?x=acosα, ? 点评:你可能没有意识到,如果将 a,b 乘过去,就得到了? 这是我们以后 ?y=bsinα, ? 要学习的椭圆方程的另外一种表达方式, 椭圆的参数方程, 有兴趣的同学下课后可以阅读有 关内容.所以我们在研究问题的过程中,结果并不重要,重要的是放宽研究问题的思路,拓 宽我们的思维角度. 谁还有其他的方法? x2 情形 3: 椭圆的标准方程表示两个非负数的和为 1, 那么这两个数都不大于 1, 所以 2 ≤1, a 同理可以得到 y 的范围. 情景 4:利用学习过函数的定义域、值域,这对研究椭圆的范围有何启示呢? x2 y2 b 由 2


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