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九年级数学特殊*行四边形2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定*题课件新版北师大版

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第一章 特殊*行四边形
2 矩形的性质与判定

第一章 特殊*行四边形
第2课时 矩形的判定
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新练

第2课时 矩形的判定

A 知识要点分类练

知识点 1 根据定义判定

1. 如图 1-2-16,要使*行四边形 ABCD 成为矩形,需添加的条件是

( C)

A. AB=BC C. ∠ABC=90°

B. AO=CO D. ∠1=∠2

第2课时 矩形的判定

2. 木工师傅做一个矩形木框,做好后量得长为 80 cm,宽为 60 cm,对角 线的长为 100 cm,则这个木框___合__格___.(填“合格”或“不合 格”)

[解析] ∵802+602=10000=1002, 即 AD2+DC2=AC2, ∴∠D=90°, 同理:∠B=∠BCD=90°, ∴四边形 ABCD 是矩形. 故答案为:合格.

图 1-2-16

第2课时 矩形的判定

3. 如图 1-2-17,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,DE∥AC 交 AB 于 点 E,DF ∥ AB 交 AC 于 点 F, 当 △ABC 满 足 条 件 _____答__案_不 __唯__一__,如__∠__B_A_C_=__9_0_°_______时,四边形 AEDF 是矩形.

[解析] ∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形 AEDF 是*行四边形, 当∠BAC=90°时,四边形 AEDF 是矩形. 故答案为:∠BAC=90°. (答案不唯一)

图 1-2-17

第2课时 矩形的判定

4. [2016·吉林] 如图 1-2-18,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于 点 O,且 DE∥AC,AE∥B D. 求证:四边形 AODE 是矩形.

证明: ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD,∴∠AOD=90°. ∵DE∥AC,AE∥BD, ∴四边形 AODE 是*行四边形. 又∵∠AOD=90°, ∴四边形 AODE 是矩形.

图 1-2-18

第2课时 矩形的判定

知识点 2 根据对角线相等判定

5. 如图 1-2-19,*行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点

O,要使它成为矩形,需再添加的条件是( B )

A. AO=OC

B. AC=BD

C. AC⊥BD

图 1-2-19

D. BD *分∠ABC

[解析] ∵可添加的条件是 AC=BD. 理由: ∵AC=BD,四边形 ABCD 是*行四边形, ∴*行四边形 ABCD 是矩形,故选 B.

第2课时 矩形的判定

6. 如图 1-2-20,在?ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,OA=3,要

使?ABCD 为矩形,则 OB 的长为( B )

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

图 1-2-20

第2课时 矩形的判定
7. 如图 1-2-21,工人师傅砌门时,要想检验门框 ABCD 是否符合设 计要求(即门框是不是矩形),在确保两组对边分别*行的前提下, 只要测量出对角线 AC,BD 的长度,然后看它们是否相等就可以判 断了.
图 1-2-21 (1)当 AC___等__于___(填“等于”或“不等于”)BD 时,门框符合要求; (2)这种做法的根据是___对__角__线_相__等__的__*_行__四__边__形__是_矩__形_____.

第2课时 矩形的判定

8. (教材例 2 变式题)如图 1-2-22,四边形 ABCD 是*行四边形,

对角线 AC,BD 相交于点 O,△OAB 为等边三角形,BC= 3.求四边 形 ABCD 的周长.

解: ∵四边形 ABCD 是*行四边形, ∴AC=2OA,BD=2OB. ∵△OAB 为等边三角形,∴OA=OB=AB, ∴AC=BD,∴四边形 ABCD 为矩形, ∴∠ABC=90°. 在 Rt△ABC 中,AC=2OA=2AB,BC= 3, 由勾股定理,得 AB= AC2-BC2=1, ∴四边形 ABCD 的周长=2(AB+BC)=2(1+ 3).

图 1-2-22

第2课时 矩形的判定

知识点 3 根据直角的个数判定

9. 对于四边形 ABCD,给出下列 4 组条件:①∠A=∠B=∠C=∠D;

②∠B=∠C=∠D;③∠A=∠B,∠C=∠D;④∠A=∠B=∠C

=90°,其中能得到“四边形 ABCD 是矩形”的条件有( B )

A. 1 组

B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组

[解析] ①由∠A=∠B=∠C=∠D 能得到四个角都是直角,故①正确; ②由∠B=∠C=∠D 不可以得到四个角都是直角,故②错误; ③由两组邻角相等并不能得到四个角都是直角,故③错误; ④∠A=∠B=∠C=90°,有三个角是直角的四边形为矩形,故④正确. ∴正确的有 2 组. 故选 B.

第2课时 矩形的判定
10. 如图 1-2-23,直角∠AOB 内的一点 P 到这个角的两边的距离之 和为 6,则图中四边形的周长为____1_2___.
图 1-2-23
[解析] 由题意可知图中有 3 个直角,可得到此四边形是矩形,那么其周长=2×邻 边之和=12. 故答案为 12.

第2课时 矩形的判定
B 规律方法综合练
11. 下列命题错误的是( C ) A. 有三个角是直角的四边形是矩形 B. 有一个角是直角且对角线互相*分的四边形是矩形 C. 对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线相等且互相*分的四边形是矩形

第2课时 矩形的判定

12. 如图 1-2-24,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,已知

下列 6 个条件:

①AB∥DC;②AB=DC;③AC=BD;

④∠ABC=90°;⑤OA=OC;⑥OB=O D.

下列组合中,不能使四边形 ABCD 成为矩形的是( C )

A. ①②③

B. ②③④ C. ②⑤⑥ D. ④⑤⑥

图 1-2-24

第2课时 矩形的判定
[解析] A 项,①AB∥DC;②AB=DC 可判定四边形 ABCD 是*行四边形,再加 上③AC=BD,可根据对角线相等的*行四边形是矩形进行判定,故此选项不符合 题意. B 项,②AB=DC;③AC=BD;④∠ABC=90°,可根据题意判断出全等三 角形,进而得出四边形 ABCD 是矩形,故此选项不符合题意. C 项,⑤OA=OC;⑥ OB=OD 可判定四边形 ABCD 是*行四边形,再加②AB=DC 不能判定四边形 ABCD 是矩形,故此选项符合题意. D 项,⑤OA=OC;⑥OB=OD 可判定四边形 ABCD 是*行四边形,再加④∠ABC=90°,可根据有一个角为直角的*行四边形 是矩形进行判定,故此选项不符合题意. 故选 C.

第2课时 矩形的判定

13. 如图 1-2-25,D,E,F 分别是△ABC 各边的中点.添加下列条件后,

不能得到四边形 ADEF 是矩形的是( D )

A. ∠BAC=90°

B. BC=2AE

C. ED *分∠AEB D. AE⊥BC

图 1-2-25

[解析] ∵D,E,F 分别是△ABC 各边的中点,∴EF∥AB,DE∥AC, ∴四边形 ADEF 是*行四边形. 若∠BAC=90°或 BC=2AE 或 ED *分∠AEB,则四边形 ADEF 是矩形; 若 AE⊥BC,则 AE⊥DF,∴四边形 ADEF 是菱形.

第2课时 矩形的判定
14. 如图 1-2-26,已知四边形 ABCD,E,F,G,H 分别是四边的中点, 只要四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 再满足条件_A_C_⊥__B_D__,则四边 形 EFGH 一定是矩形.
图 1-2-26

第2课时 矩形的判定

15. 如图 1-2-27,AB∥CD,PM,PN,QM,QN 分别为角*分线.求证: 四边形 PMQN 是矩形.

证明: ∵PM,PN 分别*分∠APQ,∠BPQ,
∴∠MPQ=21∠APQ,∠NPQ=21∠BPQ. ∵∠APQ+∠BPQ=180°, ∴∠MPQ+∠NPQ=90°,即∠MPN=90°. 同理可证∠MQN=90°. ∵AB∥CD,∴∠APQ+∠CQP=180°, ∴∠MPQ+∠MQP=90°, 即∠PMQ=90°,∴四边形 PMQN 是矩形.

图 1-2-27

第2课时 矩形的判定

16. 如图 1-2-28,在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,E 是△ABC 外一点且四边形 ABDE 是*行四边形.求证:四边形 ADCE 是矩形.

证明: ∵四边形 ABDE 是*行四边形, ∴AE∥BC,AB=DE,AE=BD. ∵D 为 BC 的中点,∴CD=BD. ∴CD∥AE,CD=AE, ∴四边形 ADCE 是*行四边形. ∵AB=AC,AB=DE, ∴AC=DE, ∴*行四边形 ADCE 是矩形.

图 1-2-28

第2课时 矩形的判定
17. 如图 1-2-29,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,已知 O 是 AC 的中点,AE=CF,DF∥BE. (1)求证:△BOE≌△DOF; (2)若 OD=12AC,则四边形 ABCD 是什么特殊四边形?请证明你 的结论.
图 1-2-29

第2课时 矩形的判定
解:(1)证明:∵DF∥BE, ∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO. ∵O 为 AC 的中点,∴OA=OC. ∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF, 即 OE=OF. 在△BOE 和△DOF 中,∠EBO=∠FDO,∠BEO=∠DFO,OE=OF, ∴△BOE≌△DOF(AAS). (2)若 OD=12AC,则四边形 ABCD 是矩形. 证明:∵△BOE≌△DOF,∴OB=OD. ∵OD=12AC, ∴OA=OB=OC=OD,且 BD=AC, ∴四边形 ABCD 是矩形.

第2课时 矩形的判定
C 拓广探究创新练
18. 如图 1-2-30,在△ABC 中,O 是边 AC 上的一个动点,过点 O 作直 线 MN∥B C. 设 MN 交∠ACB 的*分线于点 E,交△ACB 的外角 ∠ACD 的*分线于点 F. (1)求证:OE=OF; (2)若 CE=12,CF=5,求 OC 的长; (3)当点 O 在边 AC 上运动到什么位置 时,四边形 AECF 是矩形?并说明理由. 图 1-2-30

第2课时 矩形的判定
解:(1)证明:∵MN 交∠ACB 的*分线于点 E,交∠ACB 的外角*分线于点 F, 如图所示, ∴∠2=∠5,∠4=∠6. ∵MN∥BC,∴∠1=∠5,∠3=∠6, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF. (2)∵∠2=∠5,∠4=∠6,∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°. ∵CE=12,CF=5,∴EF= 122+52=13,∴OC=21EF=6. 5. (3)当点 O 在边 AC 上运动到 AC 的中点时,四边形 AECF 是矩形. 理由:当 O 为 AC 的中点时,AO=CO. 又∵OE=OF,∴四边形 AECF 是*行四边形. 又∵∠ECF=90°,∴四边形 AECF 是矩形.



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