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《电磁场与电磁波》考试题2

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《电磁场与电磁波》2004 期终考试题

一、(13 分)试写出如下方程: 1) 均匀、理想介质中微分形式的无源麦克斯韦方程; 分) (5

ur uu r ? ?E ?? × H = ε ?t ? uu r ? ? ? × ur = ? ? ? H E ? ?t ? uu r ?? ? H = 0 ? ur ? 瞬时值形式: ? ? ? E = 0 uu r ur ? ? × H = jωε E ur uu r ? ? × E = ? jω? H ? r ? uu ?? ? H = 0 ? ur ?? E = 0 复数形式: ?
ur

2) 均匀、理想介质中的电场强度 E 的无源波动方程; 分) (3

ur ur ?2 E ? E ? ?ε 2 = 0 ?t 瞬时值形式:
2

ur ur ?2 E + ω 2 ?ε E = 0 复数形式:
r uu uu r r ? ?n × H = J s ? r ur ? n×E = 0 ?

3) 理想导体表面切向电场、切向磁场的边界条件。 分) (5

二、(16 分)TEM 波由空气斜射到理想导体表面( z = 0 处的*面) ,已知入射波电场为

E iy = E0e j (ω t ?k x x ?kz z ) ,若 k x = 3 , k z = 4 ,试求:
1) 工作频率 f ; 分) (4 2) 入射角 θ i ; 分) (4 3) 反射波电场
r E y 的表示式; 分) (4

4) 合成波电场 E y 的表示式。 分) (4
2 k x + k z2 = 32 + 42 = 5 2π f k = ω ?0ε 0 = c kc 5 × 3 × 108 f = = ≈ 2.39 × 108 2π 2 × 3.14 Hz k 3 θ i = arctg x = arctg ≈ 36.870 kz 4 2)

解: 1)因为 k =

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9 3) ω = 2π f = 1.5 × 10 rad s

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对于垂直极化波入射到理想导体表面,在 z = 0 处 ρ = ?1 ,故反射波的电场为

uur uu r r E y = ? e y E0 e j ( ω t ? k x x + k z z )

9 代入 ω = 1.5 × 10 rad s , k x = 3 , k z = 4 得

uur uu r 9 r E y = ? e y E0e j (1.5×10 t ?3 x +4 z )

4) 合成波电场表达式为

uur uu r uu r E y = e y E0 e j ( ω t ? k x x ? k z z ) ? e y E0 e j ( ω t ? k x x + k z z ) uu v = ? e y j 2 E0 sin k z ze j (ω t ?k x x )

9 代入 ω = 1.5 × 10 rad s , k x = 3 , k z = 4 得

uur uu r 9 E y = ? e y j 2 E0 sin 4 ze j (1.5×10 t ?3 x )

写成余弦波形式

uur uu r E y = e y 2 E0 sin 4 z sin(1.5 × 109 t ? 3 x )

三、(16 分)空气中的 TEM 波,沿 z 方向传播,已知其电场强度为:

ur uu r uu r ′ E = ex E0 sin(ω t ? kz ) + e y E0 cos(ω t ? kz ) 。试求: uu r 1) 磁场强度 H ; 分) (4

2) 电场、磁场分别为什么极化(偏振)波?(6 分)

u r

3) 功率密度的*均值 S av 。 分) (6 解:1)由于 TEM 波沿 z 方向传播,所以

r uu r 1 uu ′ [e y E0 sin(ω t ? kz ) ? ex E0 cos(ω t ? kz )] η 120π π ur uu r ur uu r ′ E = e y E0 ;ω t = 2 时, E = ex E0 。所以电场为左旋椭 ωt = 0 时, 2)在 z=0 *面上,
圆极化波; 在 z=0 *面上, ω t = 0 时, 所以磁场为左旋椭圆极化波。

uu 1 ur ur r H = ez × E =

uu r uu r H = ?ex

uu uu 1 r r 1 π ′ E0 ω t = H = ey E0 120π ; 2 时, 120π 。

ur uu r uu r ′ E = ?ex E0 je ? jkz + e y E0e ? jkz 3)电场的复数形式为 uu r r uu r 1 uu ′ H =? ( e y E0 je ? jkz + ex E0e ? jkz ) 120π 磁场的复数形式为 u r ur uu ? r 1 S av = Re[ E × H ] 2 uu r uu r r uu r 1 1 uu ′ ′ = Re[( ? ex E0 je ? jkz + e y E0e ? jkz ) × ( e y E0 je jkz ? ex E0e jkz )] 2 120π ur 1 ′ = ez ( E02 + E02 ) 240π

四、(13 分)*面波由空气垂直入射到某介质( ε rε 0 , ?0 )分界面,若要求反射系数和传 输系数(折射系数)的大小相等,试求: (5 1) ε r ; 分)

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i 2

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r t

2) 若入射波的 S av = 1mW / m ,求反射波和折射波的 S av 和 S av 。 分) (8 解:1)由于传输系数为正数,设空气本征阻抗为η1 ,介质本征阻抗为η2 ,由题意有

η2 ? η1 2η2 = η2 + η1 η2 + η1
可得

η1 = 3η2
?0 ?0 =3 ε rε 0 ,所以 即 ε0 εr = 9 ρ =
2)因为

η2 ? η1 2η2 1 1 Ei2 1 = = ? =1 ρ =τ = η2 + η1 η2 + η1 2 ,所以 2 ,而入射有 2 η1 mW/m2,故

2 1 (E i / 2 ) ? = r η1 反射: S av = 2 0.25mW/m2 2 1 (E i / 2 ) ? = t 透射: S av = 2 η1 / 3 0.75mW/m2

五、 13 分) ( 由金属铜 ε 0 , ? 0 , σ =5.8×107 S/m) ( 制成的圆导线, 其半径 a =1.5mm, 试求该导线:

a δ

1. 单位长度的直流电阻 R D ; 分) (5 2. f =100MHz 时的表面电阻(率) R S ; 分) (5 3. f =100MHz 时单位长度的交流电阻 R A 。3 分) ( 解: 1.单位长度直流电阻为: l 1 RD = = σS σπa 2 ≈2.44×10-3(?) 2.铜为良导体,先求给定频率下的趋肤深度:

δ = 1 / α = 1 / πf?σ ≈ 6.61 × 10 ?6 (m),则表面电阻(率)为:

R S = 1 / σδ ≈ 2.61 × 10 ?3 (?/m2)
3.由于 δ << a ,只需考虑导线表面的电阻,则单位长度给定频率下的交流电阻: R A ≈ 1 /(σδ ? 2πa ) = Rs / 2πa ≈ 0.277 (?) (另一方法:
R A = RD ? a2 a 2 ? (a ? δ ) 2 )

六、 (16 分)矩形波导(横断面尺寸为 a × b ) ,传输 TE 01 模( m =0, n =1) ,已
j (ωt ? βz ) ,试求: 知其电场强度为: E x = E0 sin(πy / b) ? e

1. H y ; 分) (6

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v

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2.z 方向的功率密度 S av ; 分) (5 (5 3. TE 01 模的传输功率 P 。 分) 解: 1.由题意, E y = 0 利用麦克斯韦方程:
?? ?H y ?t = ?×E

(

)

y

=

?E x ?z ,所以

? jω? H y = ? jβE x



Hy =

β β Ex = E0 sin(πy / b) ? e j (ωt ? βz ) ω? ω?

2.z 方向的功率密度: v * β 1 1 * S av = Re( E × H ) = e z E0 sin(πy / b) ? e j (ωt ? βz ) E0 sin(πy / b) ? e ? j (ωt ? βz ) ω? 2 2

1 β 2 = ez sin 2 (πy / b) E0 2 ω?

2 ? ? ? = e 1 1 ? (λ / λc ) sin 2 (πy / b) E 2 ? 0 ? ? z2 η ? ?

β /(ω? ) = 1 / Z TE01 ) (其中, λc = 2b ,
3. TE 01 模的传输功率只用考虑 E x 和 H y 的贡献

P = ∫ S av ? dS = ∫0

a b

∫0 2 ω? sin

1 β

2

(πy / b) E0 dydx =
2

1 β 2 ? ab ? E0 4 ω?

I dl
90o
30
o

七、 (13 分)电偶极子 I dl ,其一端与 地面无限靠*。 当电偶极子与地面夹角 为 30 o 时,测得天线的发射功率 P1 = 10mW。若将该天线与地面垂直放置, 试求其发射功率 P2 等于多少毫瓦? 解:
2 1 ' 1? P1 = 40π 2 ? sin 30 o ? 2 Idl / λ ? ? ?, ? 2 2?

大地
利用镜像法,考虑远场,可知,

当电偶极子与地面夹角为 30 时,有 1 1 2 P2 = P2' = 40π 2 ? (2 Idl / λ ) 2 o 2 2 当与地名垂直放置时, 有 , 所以 P1 / P2 = sin 30 , P2 = 4 ? P1 = 40 mW.

o

P1 =

(

)

[

]

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