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新课标2018届高考数学二轮复习专题四数列4.2数列的通项与求和课件理_图文


4.2 数列的通项与求和 -2- 试题统计 (2013 全国Ⅰ,理 12) (2013 全国Ⅰ,理 14) (2015 全国Ⅰ,理 17) (2016 全国Ⅰ,理 3) (2016 全国Ⅱ,理 17) (2016 全国Ⅲ,理 17) (2017 全国Ⅰ,理 12) (2017 全国Ⅱ,理 15) (2017 全国Ⅲ,理 9) 题 命题规律 型 数列的通项与求和是 高考中对数列考查的 又一个重点,主要考 选 查等差数列、等比数 择 列的求和公式以及通 题 过变形转化为等差数 填 列、等比数列的数列 空 求和.数列求和常与 题 函数、方程、不等式 解 联系在一起,在考查 答 基本运算、基本能力 题 的基础上,又注意考 查学生分析问题、解 决问题的能力. 复习策略 抓住考查的主 要题目类型进 行训练,重点 是:常见求数 列通项的方 法;非等差数 列、非等比数 列的求和问题 中的倒序相加 法、通项化归 法、错位相减 法、裂项相消 法、分组求和 法等. -3- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 由数列的递推关系求通项 【思考】 由递推关系求数列的通项的常用的方法有哪些? 例1根据下列条件,确定数列{an}的通项公式: (1)a1=2, +1 =an+ln 1 + 1 1 ; (2)a1= , +1 = an+ 1; 2 +2 +2 (3)a1=1, +1 =3an+2. 1 解: (1)∵an+1=an+ln 1 + , ∴an-an-1=ln 1 + -1 =ln -1(n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =ln -1 1 +ln -1 -2 +…+ln +ln 2+2 -1 -2 2 3 =2+ln -1 · ·…· ·2 =2+ln n(n≥2). 2 3 又 a1=2 适合上式,故 an=2+ln n(n∈N*). -4- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 (2)∵an+1= +2 an+ 1- +2 1 2 , ∴an+1-1= +2(an-1), 则 bn+1= +2 令 bn=an-1,有 b1=a1-1=- , bn,取 n=1,2,3,… ,n-1, 1 3 2 4 3 5 -1 +1 由累乘 ,得 bn= × × ×… × × - 1 2 =- 1 ( +1) ,an=1- 1 ( +1) . (3)由 an+1=3an+2,得 an+1+1=3(an+1), ∵a1=1,知 a1+1=2,an+1≠0, ∴ +1 +1 +1 =3.∴数列 {an+1}是以 2 为首项 , 以 3 为公比的等比数列 . 则 an+1=2·3n-1,故 an=2·3n-1-1. -5- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思由递推关系求数列的通项的基本思想是转化,常用的方 法: (1)an+1-an=f(n)型,采用迭加法; +1 (2) =f(n)型,采用迭乘法; (3)an+1=pan+q(p≠0,p≠1)型,转化为等比数列解决; (4)an+1= + (an≠0,p,q为非零常数)型,可用倒数法转化为等 差数列解决. -6- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 关闭 对点训练1根据下列条件,确定数列{an}的通项公式: 2 2 1 1 1 (1)(1) ∵a = 1, a = , ∴ = + . n+1 a11=1, = ; 2 是等差数列 1 ∴数列 ,其首项为 1,公差为 , (2)Sn= a + . n 2 1 +12+ 2+ +1 2 1 ∴ =1+ 1 -1 2 3 3 ,∴an= 1 3 2 +1 . (2)∵Sn= an+ ,① 3 2 ∴当 n≥2 时 ,Sn-1=3an-1+3.② 由 ①-②,得 an= an- an-1,即 3 3 2 2 -1 2 1 =-2. 1 ∵a1=S1=3a1+3,∴a1=1. ∴{an}是以 1 为首项 ,-2 为公比的等比数列 ,an=(-2) - 2 1 . 答案 -7- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 裂项相消法求和 【思考】 在裂项相消法中,裂项的基本思想是什么? 2 例2Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0, +2an=4Sn+3. 2 2 (1)(1) 由 2n a =4Sn+3,可知 n的通项公式 求 {a } ; +1 +2an+1=4Sn+1+3. + 2 2 可得 +1 ? +2(an+1-an)=4an+1, 2 12 即 (2) 2(a n+1+an)= +1 ? =(an+1+an)(an+1-an). 设bn= ,求数列{bn}的前n项和. 由于 an>0,可得 a+1 n+1-an=2. 2 又1 +2a1=4a1+ 3,解得 a1=-1(舍去),a1=3. 所以 {an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列 ,通项公式为 an=2n+1. 1 1 1 1 1 (2)由 an=2n+1 可知 bn= = = . +1 (2 +1)(2 +3) 2 2 +1 2 +3 1 关闭 设数列 {bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn=b1+b2+… +bn= 1 2 1 1 3 5 - + 1 1 5 7 - +… + 1 2 +1 2 +3 - = 3(2 +3) . 答案 -8- 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an=bn+kbn(k∈N*)的形式,从而达到在求和时绝大多数项相消的目的,在解 题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项


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