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高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程讲义 新人教B版选修2-1_图文


2.2 椭圆

2.2.1 椭圆的标准方程













1.了解椭圆标准方程的推导. 2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.(重点) 3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程.(重点、难点)

[基础·初探] 教材整理1 椭圆的定义 阅读教材P39前4自然段,完成下列问题. 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于______的点的轨迹(或集合)叫做椭 圆.这________叫做椭圆的焦点,________叫做椭圆的焦距.
【答案】 常数(大于|F1F2|) 两个定点 两焦点的距离

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.( ) (2)在椭圆定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于F1F2”的常数,其它条件不 变,点的轨迹为线段.( ) (3)到两定点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)×

教材整理2 椭圆的标准方程

阅读教材P39第5自然段~P40“思考与讨论”,完成下列问题.

焦点在x轴上

焦点在y轴上

标准方程

__________

ay22+bx22=1(a>b>0)

焦点

(-c,0)与(c,0) ________与________

a,b,c的关系

c2=________

【答案】 ax22+by22=1(a>b>0) (0,-c) (0,c) a2-b2

椭圆

x2 25



y2 9

=1的焦点在________轴上,焦距为________,椭圆

x2 9



y2 16

=1的

焦点在________轴上,焦点坐标为________.

【解析】

由25>9可判断椭圆

x2 25



y2 9

=1的焦点在x轴上,由c2=25-9=16,

可得c=4,故其焦距为8.由16>9,可判断椭圆

x2 9



y2 16

=1的焦点在y轴上,

c2=16

-9=7,故焦点坐标为(0, 7)和(0,- 7).

【答案】 x 8 y (0, 7)和(0,- 7)

[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问2:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问3:________________________________________________________
解惑:________________________________________________________

求椭圆的标准方程

[小组合作型]

求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); (3)经过点A( 3,-2)和点B(-2 3,1).

【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在x轴上, ∴设它的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0). ∴a=5,c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 +y92=1. (2)由于椭圆的焦点在y轴上, ∴设它的标准方程为ay22+bx22=1(a>b>0). ∴a=2,b=1. 故所求椭圆的标准方程为y42+x2=1.

(3)法一 ①当焦点在x轴上时, 设椭圆的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0).

依题意有?????????-a322a?22+3??2-+b22b1?22==11,,

解得?????ba22==51.5,

故所求椭圆的标准方程为1x52 +y52=1.

②当焦点在y轴上时, 设椭圆的标准方程为ay22+bx22=1(a>b>0).

依题意有????????a1-2+a22??-2+2b?2

b32?2=1, 3?2=1,

解得?????ba22==155,,

因为a>b>0,所以无解. 所以所求椭圆的标准方程为1x52 +y52=1.

法二 设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),依题意有

??3m+4n=1, ???12m+n=1,

解得?????nm==1511.5,

所以所求椭圆的标准方程为1x52 +y52=1.

1.利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求a,b,c的等量关系;(4)求a,b的 值,代入所设方程. 2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n> 0).因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况,所以可以避 免分类讨论,从而简化了运算.

[再练一题]

1.已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点A(0,2)和

B???12,

3??,求椭圆的标准方程.
?

【导学号:15460025】

【解】 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), ??4n=1,
将A,B两点坐标代入方程得???14m+3n=1, ??m=1,
解得???n=14, ∴所求椭圆方程为x2+y42=1.

椭圆的定义及其应用

设P是椭圆

x2 25



y2 75

=1上一点,F1、F2是椭圆的焦点,若∠F1PF2=

4

60°,求△F1PF2的面积.

【精彩点拨】 (1)由椭圆方程,你能写出|PF1|+|PF2|与|F1F2|的大小吗?(2) 在△F1PF2中,根据余弦定理可以得到|F1F2|、|PF1|、|PF2|之间的关系式吗?(3)怎 样求△F1PF2的面积?

【自主解答】 由椭圆方程知,a2=25,b2=745,∴c2=245,∴c=52,2c=5. 在△PF1F2中, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°, 即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得10=|PF1|+|PF2|, 即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.② ②-①得3|PF1|·|PF2|=75, 所以|PF1|·|PF2|=25, 所以S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|·sin 60°=254 3.

1.椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点M的 轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
2.椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2,称为焦点三角形.解 关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定 理等知识求解.

[再练一题]

2.在本例中,若把椭圆方程改为“

x2 4



y2 3

=1”,把“∠F1PF2=60°”改为

“∠PF1F2=90°”,其余条件不变,试求△PF1F2的面积.

【解】

由椭圆方程

x2 4



y2 3

=1,知a=2,c=1,由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|

=2a=4,且|F1F2|=2,在△PF1F2中,∠PF1F2=90°. ∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2.

从而(4-|PF1|)2=|PF1|2+4,则|PF1|=32,

因此S△PF1F2=12·|F1F2|·|PF1|=32.

故所求△PF1F2的面积为32.

[探究共研型] 与椭圆有关的轨迹问题 探究1 如图2-2-1,P为圆B:(x+2)2+y2=36上一动点,点A的坐标为(2,0), 线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q,求点Q的轨迹方程.
图2-2-1

【提示】 用定义法求椭圆的方程,首先要利用平面几何知识将题目条件转 化为到两定点的距离之和为定值,然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否 为坐标轴,最后由定义确定椭圆的基本量a,b,c.
所求点Q的轨迹方程为x92+y52=1.

探究2 如图2-2-2,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D 为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹方程是什么?为什么?
图2-2-2

【提示】 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时,一般利用相关点 法求解.用相关点法求轨迹方程的基本步骤为:
(1)设点:设所求轨迹上动点坐标为P(x,y),已知曲线上动点坐标为Q(x1, y1).
(2)求关系式:用点P的坐标表示出点Q的坐标,即得关系式?????xy11= =gh??xx, ,yy??,. (3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程,并把所 得方程化简即可. 所求点M的轨迹方程为x42+y2=1.

一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内 切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.
【精彩点拨】 由圆的相切,及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨 迹.

【自主解答】 由已知,得两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),R1=1; Q2(3,0),R2=9.
设动圆圆心为M(x,y),半径为R,如图.

由题设有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R, 所以|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6. 由椭圆的定义,知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上, 且a=5,c=3. 所以b2=a2-c2=25-9=16, 故动圆圆心的轨迹方程为2x52 +1y62 =1.

1.求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法有:直接法、定义法和代入法,本 例所用方法为代入法.
2.对定义法求轨迹方程的认识 如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知 曲线的定义直接写出其方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们 后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用,是一种重要的解题方法.

[再练一题] 3.已知圆 C:x2+y2=4,过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m,设直线 m 与 y 轴的交点为 N,若向量O→Q=O→M+O→N,则动点 Q 的轨迹方程为____________.
【导学号:15460026】

3.代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点P(x,y)与另一个已知曲线C:F(x,y)=0上的动点Q(x1, y1)存在着某种联系,可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来,然后代入已知曲线 C的方程 F(x,y)=0,化简即得所求轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做代入 法(又称相关点法).

【解析】 设点M的坐标为(x0,y0),点Q的坐标为(x,y),点N的坐标为(0,

y0),∵O→Q=O→M+O→N,∴(x,y)=(x0,2y0),即x0=x,y0=2y,又∵x20+y20=4,∴x2



y2 4

=4.由已知,直线m平行于x轴,得y≠0,∴Q点的轨迹方程是

y2 16



x2 4



1(y≠0).

【答案】 1y62 +x42=1(y≠0)

[构建·体系]

1.若椭圆1x62 +by22=1过点(-2, 3),则其焦距为(

)

A.2 5

B.2 3

C.4 5

D.4 3

【解析】 将点(-2, 3)代入椭圆方程求得b2=4,于是焦距2c=2 16-4= 4 3.

【答案】 D

2.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为

A.x42+y32=1 C.y42+x32=1

B.x42+y2=1 D.y42+x2=1

()

【解析】 c=1,
a=12( ?2+1?2+0+ ?2-1?2+0)=2, ∴b2=a2-c2=3. ∴椭圆的方程为x42+y32=1. 【答案】 A

3.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为 2 15,则此椭圆的标准方程为________.
【解析】 由已知2a=8,2c=2 15, ∴a=4,c= 15, ∴b2=a2-c2=16-15=1. 又椭圆的焦点在y轴上, ∴椭圆的标准方程为1y62 +x2=1. 【答案】 1y62 +x2=1

4.若方程xm2+2my-2 1=1表示椭圆,则m满足的条件是________. 【导学号:15460027】

【解析】

由方程

x2 m



y2 2m-1

=1表示椭圆,知

???m2m>-0,1>0, ??m≠2m-1,

解得m>

1 2



m≠1.

【答案】

?????m???m>12且m≠1

?? ? ??

5.已知椭圆的中心在原点,两焦点F1,F2在x轴上,且过点A(-4,3).若F1A ⊥F2A,求椭圆的标准方程.
【解】 设所求椭圆的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0). 设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0). ∵F1A⊥F2A, ∴F→1A·F→2A=0, 而F→1A=(-4+c,3), F→2A=(-4-c,3),

∴(-4+c)·(-4-c)+32=0, ∴c2=25,即c=5. ∴F1(-5,0),F2(5,0). ∴2a=|AF1|+|AF2| = ?-4+5?2+32+ ?-4-5?2+32 = 10+ 90=4 10. ∴a=2 10, ∴b2=a2-c2=(2 10)2-52=15. ∴所求椭圆的标准方程为4x02 +1y52 =1.

我还有这些不足: (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________



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