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【高考二模·北京东城】北京市东城区2010年高三二模数学理科试题(word版含答案)


北京市东城区 2009-2010 学年度第二学期综合练习(二) 高三数学 (理科)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1. 已知复数 z ? (a 2 ?1) ? (a ?1)i ,若 z 是纯虚数,则实数 a 等于( B ) A. 2 B. 1 C. ?1 D. ?1

b 2.对于非零向量 a , b , a ? 2= “
A.充分不必要条件 C.充要条件

0 ”是“ a//b ”的( A )
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 执行如图所示的程序框图,输出的 T 等于(C ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 30

4.右图是一个几何体的三视图, 根据图中的数据,计算该几何 体的表面积为( D ) A. 15? B. 18? C. 22? D. 33?

? x ? y ? 1, ? 5. 已知不等式组 ? x ? y ? ?1, 表示的平面区域为 M , 若直线 y ? kx ? 3k 与平面区域 M 有公共点, k 的 则 ?y ? 0 ?
取值范围是( A ) A. [ ? , 0] 6.已知函数 f ( x) ? ?

1 3

B. (??, ]

1 3

C. (0, ]

1 3

D. ( ?? , ? ]

1 3

?(3 ? a) x ? 3, x ? 7, ?a
x ?6

,
C ) B. ( ,3)

x ? 7.
9 4

若数列 {an } 满足 an ? f (n) (n ?N* ) ,且 {an } 是递增数列,则

实数 a 的取值范围是(

9 A. [ ,3) 4

C. (2,3)

D. (1,3)

2 7.已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F , A 是两曲线的一 点 a 2 b2

个交点,且 AF ? x 轴,若 l 为双曲线的一条渐近线,则 l 的倾斜角所在的区间可能是( D ) A. (0,

?

6

)

B. (

? ? , ) 6 4

C. (

? ? , ) 4 3

D. (

? ? , ) 3 2

8. 已 知 集 合 A ? {1, 2, 3, 4} 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 、 值 域 都 是 A , 且 对 于 任 意 i ? A , f (i) ? i . 设 ,

a1 , a2 , a3 , a4 是 1,2,3,4 的任意一个排列,定义数表 ? ?

a1

a2 f (a2 )

a3 f (a3 )

? f (a1 )

a4 ? ? ,若两个数表的对 f (a4 ) ?

应位置上至少有一个数不同,就说这是两张不同的数表,那么满足条件的不同的数表的张数为 ( A ) A. 216 B. 108 C. 48 D. 24

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡相应位置的横线上.

9. 命题“ ?x0 ? R, e 0 ? x0 ”的否定是
x


B

C

10. 如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC ,已知

O

AD ? 2 3 , AC ? 6 ,圆 O 的半径为 3 ,则圆心 O 到 AC 的距离
为 . 11.已知一个样本容量为 100 的样本数据的频率分布直方图如图所 示,样本数据落在 [6,10) 内的样本频数为 在 [2,10) 内的频率为 . ,样本数据落

A

D

12. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : ?

? x ? 5cos ? ? 1, ? y ? 5sin ? ? 2


( ? 为参数) 和直线 l : ?

? x ? 4t ? 6, ( t 为参数) 则直线 l 与圆 C 相交所得的弦长等于 , ? y ? ?3t ? 2

13. 在函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的一个周期内,当 x ? 最小值 ?

?
9

时有最大值 .

1 ? ,若 ? ? (0, ) ,则函数解析式 f (x) = 2 2

1 4? ,当 x ? 时有 2 9

14. 已知数列 {an } 中, Sn 是其前 n 项和,若 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an an?1an?2 ? an ? an?1 ? an?2 , 且 an?1an?2 ? 1 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? _______________, S2010 ? _______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , cos (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 , b ? 2 2 ,求 c 的值.

A?C 3 . ? 2 3

16. (本小题满分 13 分) 袋中装着标有数字 1,2,3,4 的小球各 3 个,从袋中任取 3 个小球,每个小球被取出的可能性都相 等. (Ⅰ)求取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (Ⅱ)用 X 表示取出的 3 个小球上所标的最大数字,求随机变量 X 的分布列和均值.

17. (本小题满分 14 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形,?DAB ? 90 , AD / / BC , AD ? 侧面 PAB ,
?

△ PAB 是等边三角形, DA ? AB ? 2 , BC ? (Ⅰ)求证: PE ? CD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (Ⅲ)求 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值.

1 AD , E 是线段 AB 的中点. 2
P

B

E

A

C

D

18. (本小题满分 13 分) 已知抛物线的焦点 F 在 y 轴上,抛物线上一点 A(a, 4) 到准线的距离是 5 ,过点 F 的直线与抛物线交 于 M , N 两点,过 M , N 两点分别作抛物线的切线,这两条切线的交点为 T . (Ⅰ)求抛物线的标准方程; (Ⅱ)求 FT ? MN 的值; (Ⅲ)求证: FT 是 MF 和 NF 的等比中项.

??? ???? ? ?
??? ?

????

????

19. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn?1 ? 4an ? 1 ,设 bn ? an?1 ? 2an . (Ⅰ)证明数列 ?bn ? 是等比数列; (Ⅱ)数列 ?cn ? 满足 cn ?

1 ? (n ?N* ) ,设 Tn ? cc 2 ?c 2c 3 ?c 3c 4 ? ? c cn 1 log 2 bn ? 3

n1?

, 若对一切 n ? N

*

不等式 4mTn ? (n ? 2)cn 恒成立,求实数 m 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a ( x ? 1) . x ?1

(Ⅰ) 若函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上为单调增函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ) 设 m , n ? R ,且 m ? n ,求证:
?

m?n m?n ? . ln m ? ln n 2

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

北京市东城区 2009-2010 学年度第二学期综合练习(二) 高三数学参考答案 (理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.B 2.A 3.C 4.D 5.A 6.C 7.D 8.A

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. ?x ? R , e ? x
x

10. 5 13.

11. 32 , 0.4 14. 6 , 4020

12. 4 6

1 ? sin(3 x ? ) 2 6

注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 cos

A?C 3 ,又 A ? B ? C ? ? , ? 2 3 B ? A?C 3 .?????????????3 分 ? sin( ? )? 2 2 2 3
2

所以 sin

所以 cos B ? 1 ? 2sin
2 2

B 1 ? .???????????????7 分 2 3

(Ⅱ)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2

得 c ? 2c ? 1 ? 0 .??????????????????????11 分
2

解得 c ? 1 .?????????????????????????13 分 16. (本小题满分 13 分) 解: “一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A , (I)
3 1 1 1 C4 ? C3 ? C3 ? C3 27 则 P( A) ? .???????????????????5 分 ? 3 C12 55

(II)由题意 X 所有可能的取值为: 1 , 2 , 3 , 4 .?????????????6 分

P( X ? 1) ?

1 1 ; ? 3 C12 220
1 1 3 C32 ? C3 ? C32 ? C3 ? C3 19 ; ? 3 C12 220

P( X ? 2) ?

2 1 1 3 C6 ? C3 ? C6 ? C32 ? C3 64 16 ; P( X ? 3) ? ? ? 3 C12 220 55 1 1 3 C92 ? C3 ? C9 ? C32 ? C3 136 34 ? ? . 3 C12 220 55

P( X ? 4) ?

所以随机变量 X 的分布列为

X
P
随机变量 X 的均值为

1

2

3

4

1 220

19 220

16 55

34 55

???????????????????????10 分

EX ? 1?

1 19 16 34 155 ? 2? ? 3? ? 4 ? ? .????????????13 分 220 220 55 55 44

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 AD ? 侧面 PAB , PE ? 平面 PAB , 所以 AD ? PE .???????????????????????2 分 又因为△ PAB 是等边三角形, E 是线段 AB 的中点, 所以 PE ? AB .

因为 AD ? AB ? A , 所以 PE ? 平面 ABCD .???????????????????4 分 而 CD ? 平面 ABCD , 所以 PE ? CD .???????????????????????5 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知: PE ? 平面 ABCD ,所以 PE 是四棱锥 P ? ABCD 的高. 由 DA ? AB ? 2 , BC ?

1 AD ,可得 BC ? 1 . 2

因为△ PAB 是等边三角形, 可求得 PE ? 3 . 所以 VP ? ABCD ?

1 1 1 S ABCD ? PE ? ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 ? 3 .??????9 分 3 3 2

(Ⅲ)解:以 E 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 E ? xyz . 则 E (0,0,0) , C (1, ?1,0) , D(2,1, 0) , P(0,0, 3) .
z P

??? ? ??? ? ??? ? ED ? (2,1,0) , EP ? (0,0, 3) , PC ? (1, ?1, ? 3) .
设 n ? ( x, y, z ) 为平面 PDE 的法向量.

??? ? ?n ? ED ? 0, ? 由 ? ??? ? ?n ? EP ? 0. ?

即?

? 2 x ? y ? 0, ? ? 3 z ? 0. ?

B

E

A y

令 x ? 1 ,可得 n ? (1, ?2, 0) .?????????12 分 设 PC 与平面 PDE 所成的角为 ? .

C x

??? ? ??? ? | PC ? n | 3 ? sin ? ? cos ? PC, n ? ? ??? ? . | PC || n | 5
所以 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意可设抛物线的方程为 x2 ? 2 py ( p ? 0) . 因为点 A(a, 4) 在抛物线上,所以 p ? 0 . 又点 A(a, 4) 到抛物线准线的距离是 5 ,所以
2

D

3 . ?????????????14 分 5

p ? 4 ? 5 ,可得 p ? 2 . 2

所以抛物线的标准方程为 x ? 4 y .??????????????????3 分 (Ⅱ)解:点 F 为抛物线的焦点,则 F (0,1) . 依题意可知直线 MN 不与 x 轴垂直,所以设直线 MN 的方程为 y ? kx ? 1 .

由?

? y ? kx ? 1, ? x ? 4 y.
2

得 x ? 4kx ? 4 ? 0 .
2

因为 MN 过焦点 F ,所以判别式大于零. 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . 则 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 .????????????????????6 分

???? ? MN ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) ? ( x2 ? x1 , k ( x2 ? x1 )) .
1 x. 2 1 切线 MT 的方程为 y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) , ① 2 1 切线 NT 的方程为 y ? y2 ? x2 ( x ? x2 ) . ② 2 x ? x2 x1 x2 , ) .?????????????8 分 由①,②,得 T ( 1 2 4 ??? ? x ? x2 x1 x2 , ? 1) ? (2k , ?2) . 则 FT ? ( 1 2 4 ??? ???? ? ? 所以 FT ? MN ? 2k ( x2 ? x1 ) ? 2k ( x2 ? x1 ) ? 0 .?????????10 分
由于 x2 ? 4 y ,所以 y ?
'

(Ⅲ)证明: FT

??? 2 ?

? (2k )2 ? (?2)2 ? 4k 2 ? 4 .
???? ????

由抛物线的定义知 MF ? y1 ? 1 , NF ? y2 ? 1 . 则 MF ? NF ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4

???? ????

? 4k 2 ? 4 .
所以 FT

??? 2 ?

???? ???? ? MF ? NF .
????

即 FT 是 MF 和 NF 的等比中项.???????????????????13 分 19. (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)由于 Sn?1 ? 4an ? 1 , 当 n ? 2 时, Sn ? 4an?1 ? 1 . ① ? ②得 所以 ① ②

??? ?

????

an?1 ? 4an ? 4an?1 .

an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) .???????????????????2 分

又 bn ? an?1 ? 2an , 所以 bn ? 2bn?1 .

因为 a1 ? 1 ,且 a1 ? a2 ? 4a1 ? 1 , 所以 a2 ? 3a1 ? 1 ? 4 . 所以 b1 ? a2 ? 2a1 ? 2 . 故数列 ?bn ? 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列.?????????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn ? 2n ,则 cn ?

1 1 * (n?N ) . ? log 2 bn ? 3 n ? 3

Tn ? c1c2 ? c2c3 ? c3c4 ? ?? cncn?1
?
?

1 1 1 ? ? ?? ? 4? 5 5 6 ? 7 ? 6 n? (
1 1 ? 4 n?4

1 n3 ) ( ?

4)

?

n .??????????????????????????9 分 4 (n ? 4 )
mn n?2 ? . n?4 n?3

由 4mTn ? (n ? 2)cn ,得 即m ?

(n ? 4)(n ? 2) . n(n ? 3) n 2 ? 6n ? 8 . n 2 ? 3n

所以 m ?

3n ? 8 3 8 ? 1? ? 2 .??????????????11 分 2 n ? 3n n ? 3 n ? 3n 3 8 ? 2 设 f ( x) ? 1 ? , x ? 1. x ? 3 x ? 3x 15 可知 f ( x ) 在 [1, ??) 为减函数,又 f (1) ? , 4
所以 m ? 1 ? 则当 n ? N 时,有 f (n) ? f (1) .
*

15 . 4 15 故当 m ? 时, 4mTn ? (n ? 2)cn 恒成立.?????????????13 分 4
所以 m ? 20. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ?
'

1 a( x ? 1) ? a( x ? 1) ? x ( x ? 1)2

?

( x ? 1)2 ? 2ax x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 .???????????????3 分 ? x( x ? 1)2 x( x ? 1)2

因为 f ( x ) 在 (0, ??) 上为单调增函数, 所以 f ' ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立. 即 x2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上恒成立. 当 x ? (0, ??) 时,由 x2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0 , 得 2a ? 2 ? x ? 设 g ( x) ? x ?

1 . x

1 , x ? (0, ??) . x

g ( x) ? x ?

1 1 ? 2 x? ? 2. x x
1 ,即 x ? 1 时, g ( x) 有最小值 2 . x

所以当且仅当 x ? 所以 2a ? 2 ? 2 . 所以 a ? 2 .

所以 a 的取值范围是 (??, 2] .??????????????????????7 分 (Ⅱ)不妨设 m ? n ? 0 ,则 要证

m ?1. n

m?n m?n ? , ln m ? ln n 2 m m ?1 ?1 只需证 n , ? n m 2 ln n m 2( ? 1) m n 即证 ln ? . m n ?1 n m 2( ? 1) m 只需证 ln ? n ? 0 .???????????????????????11 分 m n ?1 n 2( x ? 1) 设 h( x) ? ln x ? . x ?1 m 由(Ⅰ)知 h( x) 在 (1, ??) 上是单调增函数,又 ? 1 , n m 所以 h( ) ? h(1) ? 0 . n

m 2( ? 1) m 即 ln ? n ? 0 成立. m n ?1 n m?n m?n ? 所以 .????????????????????????14 分 ln m ? ln n 2



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