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2016高中数学 情境互动课型 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义_图文


2.2.2 向量减法运算及其几何意义

1.用三角形法则与平行四边形法则求两个向量的 和向量分别如何操作?

b

a

a?b

b

a
三角形法则: 首尾相接首尾连.

b a?b
a
平行四边形法则: 起点相同连对角.

2.向量的加法运算有哪些运算性质?
a+0 ? 0+a ? a;
a ? b ? b ? a; (a ? b) ? c ? a ? (b ? c); | a+b |?| a |+| b |; | a+b |?|| a |-| b || .

向量是否有减法?如何理解向量的减法? 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相 反数,向量的减法是否也有类似的法则?

1.了解相反向量的概念. 2.掌握向量的减法,会作两个向量的差向量, 并理解其几何意义.(重、难点) 3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的 加法运算,使学生理解事物间可以相互转化的 思想.

探究点1 向量减法的含义

思考1:两个相反向量的和向量是什么?向量 a 的

相反向量可以怎样表示?

提示:0;? a.

思考2:?a 的相反向量是什么?零向量 0 的相反向量

是什么?

提示:

-(-a)? a, 规定:零向量的相反向量仍是零向量.

思考3:在实数的运算中,减去一个数等于加上这个
数的相反数.据此原理,向量 a-b 可以怎样理解?
? ? 提示:定义:a-b=a+ -b .
思考4:两个向量的差还是一个向量吗? 提示:是
思考5:向量 a 加上向量b 的相反向量,叫做a与 b
的差向量,求两个向量的差的运算叫做向量的减 法,对于向量 a,b,c,若a ? c=b,则c等于什么?
提示: a ? c=b??????????????c=b ? a.

【即时训练】
AB ? BC ? AD ?( D )
A. AD B. CD C. DB D. DC

探究点2 向量减法的几何意义
思考1:如果向量 a 与b 同向,如何作出向量 a ? b?

提示:

b

a

a?b

思考2:如果向量 a与 b反向,如何作出向量 a ? b?

提示:

b

a

a?b

思考3:设向量 a与 b不共线,作OA ? a,OB ? b,由

uuur uuur uuur
OB + BA = OA 可得什么结论? 提示:

a

O

a

A

b

b

a?b

B
B A OA ? OB.

思考4:设向量a与b 不共线,作 O A = a,O B = b,O C = - b,

以OA,OC为两邻边作平行四边形,则 OD= a-b. 如

何理解 BA =OD? 提示:

C

D

a a?b

?b

b

O

a

A

b

a?b
B

思考5:求作两个向量的差向量也有三角形法则和

平行四边形法则,其中三角形法则的作图特点是

什么? 提示:

C

D

a?b ?b

O
b

a
A

a?b
B

首同尾连指被减

思考6:向量 a-b与b-a 是什么关系? | a-b | 与 | a + b | 、| a - b | 的大小关系如何?
提示: a-b与b-a 是相反向量.
| a-b ? a + b |,当且仅当 a与b 反向时取等号; | a-b ? | a - b ||,当且仅当 a与b 同向时取等号.

思考7:| a-b | 与| a+b | 有什么大小关系吗?为什么?

提示:

B

b

C
a+b

a-b

O

A

a

思考8:对于非零向量a与b,向量a+b与a-b 可能相 等吗?
提示: 当b=0时,a+b=a-b.

【即时训练】 如图,已知向量 a,b,c ,求作向量 a ? b ? c
c b
a

【解析】在平面上任取一点O,作 OA ? a, OB ? b, 则BA=a ? b.
再作BC=c,并以BA,BC为邻边作□ BADC,则
BD=BA+BC=a-b+c. (如图所示)
C

c a?b?c

D

B

a?b

bO

a

A

例1.如图,已知向量 a, b,c,d, 求作向量 a ? b,c ? d.

B

a?b

D

b a

d c

A

d b

c?d

C a

c

O

作法:如图,在平面内任取一点O,作 OA ? a,

OB ? b, OC ? c, OD ? d, 则 BA ? a ? b, DC ? c ? d.

【变式练习】

如图,已知a,b, 求作 a ? b.

(2)

(1) a

a?b

a
b

b

(3)

a

(4)

a?b
a

b

b

a

a?b

b

a?b

b

a

例2.对下列各式进行化简
(1) AB ? AC ? BD ? CD
解 :原式 = CB + BD - CD = CD - CD = 0.
(2)OA ? OC ? BO ? CO
解 :原式 =(OA + BO)+(OC + CO) =(OA - OB)+ 0 = BA.

【变式练习】 化简:(A→B-C→D)-(A→C-B→D).
【解题关键】 解答本题可先去括号,再利用 相反向量及加法交换律、结合律化简.
【解析】(A→B-C→D)-(A→C-B→D) =A→B-C→D-A→C+B→D=A→B+D→C+C→A+B→D =(A→B+B→D)+(D→C+C→A)=A→D+D→A=0.

【方法规律】 注意满足下列两种形式可以化简: (1)首尾相接且为和. (2)起点相同且为差. 做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要 注意逆向应用、统一向量起点方法的应用.

【互动探究】 化简下列各式: (1)(A→C+B→O+O→A)-(D→C-D→O-O→B); (2)(A→B+C→D)+(B→C+D→E)-(E→F-E→A).
【解析】 (1)(A→C+B→O+O→A)-(D→C-D→O-O→B) =(A→C+B→A)-(O→C-O→B)=B→C-B→C=0.
(2)(A→B+C→D)+(B→C+D→E)-(E→F-E→A)=(A→B+ B→C)+(C→D+D→E)-(E→F-E→A)
=A→C+C→E+E→A-E→F=A→E+E→A-E→F=-E→F.

例3.如图,□ABCD中,AB ? a,AD ? b,你能用a,b 表示

向量 AC,DB 吗?
解:由向量加法的平行 四边形法则,
得 AC ? a ? b;

D
b

A

a

C B

由向量的减法可得,
DB ? AB ? AD ? a ? b.

注意向量的 方向

【变式练习】

如图,平行四边形ABCD中, AB ? a,

DA ? b, OC ? c, 证明:b ? c ? a ? OA,

Dc C

b
O

A

B

a

证明:b + c = DA + OC = OC + CB = OB, 所以b + c - a = OB - AB = OB + BA = OA.

1、下面给出了四个式子:

① AB+ BC +CA;②OA+OC +BO+CO;

③ AB- AC +BD-CD;④ NQ +QP + MN - MP .

其中值为 0 的有 A.①②

( C)
B.①③

C.①③④

D.①②③

2.若非零向量 a、b 互为相反向量,则下列说法中错

误的是( C )
A.a∥b

B.a≠b

C.|a|≠|b|

D.b=-a

3.若 a 与 b 为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则( A )
A.a∥b,且 a 与 b 方向相同 B.a、b 是方向相反的向量 C.a=-b D.a、b 无论什么关系均可

4.设 b 是 a 的相反向量,则下列说法错误的是( C ) A.a 与 b 的长度必相等 B.a∥b C.a 与 b 一定不相等 D.a 是 b 的相反向量

5.在△ABC 中,|A→B|=|B→C|=|C→A|=1,则 |A→B-A→C|的值为___1_____.

6.若 a 表示向东走 8 km,b 表示向北走 8 km,则
|a+b|=_8___2____km,a+b 的方向是东__北__方__向__.

向量减法

1.知识结构
概念 三角形法则
应用

2.向量的减法

定义

向量 a 加上向量 b 的相反向量,叫做 a与b 的差,即 a ? b = a +( ? b), 求两个向量差的运算,叫做向量的减法

几何 意义

如图,设 OA ? a,OB ? b, 则BA ? a ? b,即a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量

少而好学,如日出之阳;壮而好学,如日中之光;

老而好学,如炳烛之明。

——刘向



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