新学案(浙江专用)高中数学 3.3.1.1 二元一次不等式(组)与平面区域名师课件 新人教A版必修5_图文

3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

第1课时 二元一次不等式(组)与平面区域

1.理解二元一次不等式(组)的有关概念. 2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.

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1.二元一次不等式(组) (1)定义:含有两个未知数,且含有未知数的项的最高次数为 1 的不等式 称为二元一次不等式;由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一 次不等式组. (2)解集:满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x,y), 称为二元一次不等式(组)的解,所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为 二元一次不等式(组)的解集.有序数对可以看成是直角坐标平面内点的 坐标.于是,二元一次不等式(组)的解集就可以看成是直角坐标平面内的点 构成的集合.

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【做一做 1-1】 不等式 x+y-1<0 的解可能是( )

A.(2,-1)

B.(0,0)

C.(3,1)

D.(0,2) 答案:B

【做一做 1-2】

不等式组

x

+y y<

>20,的一个解是

.

答案:(1,0)(答案不唯一)

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2.平面区域 (1)定义:一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0 表 示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域,直线 Ax+By+C=0 称为 这个平面区域的边界.这时,在平面直角坐标系中,把直线 Ax+By+C=0 画成 虚线,以表示不包括边界;而不等式 Ax+By+C≥0 表示的平面区域包括边界, 把边界画成实线.

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在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线 Ax+By+C=0 分成 三类: ①在直线 Ax+By+C=0 上的点; ②在直线 Ax+By+C=0 上方区域内的点; ③在直线 Ax+By+C=0 下方区域内的点.

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(2)判断方法:只需在直线 Ax+By+C=0 的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作 为测试点,由 Ax0+By0+C 的符号就可以断定 Ax+By+C>0 表示的是直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域.
特别地,当 C≠0 时,常取原点(0,0)作为测试点;当 C=0 时,常取(0,1)或 (1,0)作为测试点.

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【做一做

2-1】

以下各点在不等式组

x+y x-2y +

> 0, 表示的平面区域内 1<0

的是( )

A.(-1,1)

B.(1,1)

C.(2,2)

D.(3,2)

答案:C

【做一做 2-2】 点 P(m,n)不在不等式 5x+4y-1>0 表示的平面区域内,

则 m,n 满足的条件是

.

答案:5m+4n-1≤0

画出含有绝对值符号的不等式表示的平面区域 剖析:利用转化的思想,通过分类讨论去掉绝对值符号,转化为画二元一
次不等式组表示的平面区域.
例如:画出不等式|x|+|y|≤1 所表示的平面区域.
分析:对 x,y 的符号进行分类讨论,去掉绝对值符号,转化为画二元一次 不等式组表示的平面区域.

解:不等式|x|+|y|≤1 等价于

x ≥ 0,

x ≥ 0,

x < 0,

x < 0,

y ≥ 0, 或 y < 0, 或 y ≥ 0, 或 y < 0,

x + y ≤ 1 x-y ≤ 1 -x + y ≤ 1 -x-y ≤ 1.

上述四个不等式组表示的平面区域合起来就是不等式|x|+|y|≤1 所表

示的平面区域,如下图所示.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型一

画二元一次不等式表示的平面区域

【例 1】 (1)画出不等式 3x-4y-12≥0 表示的平面区域;

(2)画出不等式 3x+2y<0 表示的平面区域. 分析:(1)先画直线,再取原点分析;(2)先画直线,再取(1,0)点分析.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:(1)先画直线 3x-4y-12=0,取原点(0,0),代入 3x-4y-12,得-12<0,

所以原点不在 3x-4y-12≥0 表示的平面区域内.

所以不等式 3x-4y-12≥0 表示的平面区域如图 1 阴影部分所示.

图1

题型一

题型二

题型三

题型四

图2
(2)先画直线 3x+2y=0(画成虚线). ∵点(1,0)在 3x+2y>0 表示的平面区域内,
∴不等式 3x+2y<0 表示的平面区域如图 2 阴影部分所示.

题型一

题型二

题型三

题型四

画二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域的步骤: (1)在平面直角坐标系中画出直线 Ax+By+C=0,即边界; (2)利用特殊点确定二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域是直线 Ax+By+C=0 的哪一侧; (3)用阴影表示平面区域.
注意:对于二元一次不等式 Ax+By+C≥0 或 Ax+By+C≤0,把边界画成实线;
对于二元一次不等式 Ax+By+C>0 或 Ax+By+C<0,把边界画成虚线.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型二

画二元一次不等式组表示的平面区域

x-y + 5 ≥ 0, 【例 2】 画出不等式组 x + y + 1 ≥ 0,表示的平面区域.
x≤3
分析:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交 集,即是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及其右下方的点的集

合;x+y+1≥0 表示直线 x+y+1=0 上及其右上方的点的集合;x≤3 表示直线
x=3 上及其左方的点的集合,所以不等式组表示的平面区域如图中的阴影 部分所示.

题型一

题型二

题型三

题型四

画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤:
(1)画出每一个二元一次不等式表示的平面区域; (2)取所有的二元一次不等式表示的平面区域的公共部分; (3)用阴影表示公共部分即为二元一次不等式组表示的平面区域.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型三

根据平面区域写出二元一次不等式(组)

【例 3】 画出以 A(3,-1),B(-1,1),C(1,3)为顶点的△ABC 的区域(包括边界),

写出表示该区域的二元一次不等式组. 分析:写出二元一次不等式组,即首先要求出直线方程,以定边界,其次
要确定不等号的方向.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:如图所示,则直线 AB,BC,CA 所围成的区域就是所求△ABC 的区域,

直线 AB,BC,CA 的方程分别为 x+2y-1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0.

在△ABC 内取一点 P(1,1),代入 x+2y-1,得 1+2×1-1=2>0.

题型一

题型二

题型三

题型四

所以直线 x+2y-1=0 对应的不等式为 x+2y-1>0. 把 P(1,1)代入 x-y+2,得 1-1+2>0; 代入 2x+y-5,得 2×1+1-5<0. 因此对应的不等式分别为 x-y+2>0,2x+y-5<0. 又因为所求的区域包括边界,
x + 2y-1 ≥ 0, 所以所求区域的不等式组为 x-y + 2 ≥ 0,
2x + y-5 ≤ 0.

题型一

题型二

题型三

题型四

已知平面区域,用不等式(组)表示它,其步骤是:
(1)求出边界的直线方程; (2)确定不等号,在所有直线外任取一点(如本题 P(1,1)),将其坐标代入直线 方程即可.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型四 易错辨析 【例 4】 画出二元一次不等式 2y-5x-10>0 表示的区域.
错解:作出直线 2y-5x-10=0, 即 5x-2y+10=0, 将(0,0)代入 5x-2y+10 可得 5×0-2×0+10>0, 故所求的区域为含有(0,0)的一侧,如图所示. 错因分析:取点检验时,应代入原式(2y-5x-10),而不能代入变形后的式 子(5x-2y+10).

题型一

题型二

题型三

题型四

正解:设 F(x,y)=2y-5x-10,

作出直线 2y-5x-10=0.

∵F(0,0)=2×0-5×0-10=-10<0,

∴所画区域为不含(0,0)的一侧,如图所示.

题型一

题型二

题型三

题型四

由二元一次不等式写出边界直线方程时,只需将不等号变为等号即 可,不需要变形.

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1.不等式 x+3y-6<0 表示的平面区域在直线 x+3y-6=0 的( )

A.右上方

B.左上方

C.右下方 D.左下方

解析:直线 x+3y-6=0 表示的位置如图所示.

由于 0+3×0-6<0,故 x+3y-6<0 表示的区域在直线 x+3y-6=0 的左下方. 答案:D

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2.下列二元一次不等式组中,能表示图中阴影部分的是( )

A. y ≥ -1, 2x-y + 2 ≥ 0
y ≥ -1, C. x ≤ 0,
2x-y + 2 ≥ 0
答案:C

B. y ≥ -1, 2x-y + 2 ≤ 0
x ≤ 0, D. y ≥ -1,
2x-y + 2 ≤ 0

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x + y-2 ≤ 0, 3.在平面直角坐标系中,不等式组 x-y + 2 ≥ 0,表示的平面区域的面积
y≥0

是

.

解析:不等式组表示的平面区域是三角形,如图所示,则该三角形的面积是 12×4×2=4. 答案:4

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4.用不等式表示直线 y=3x-1 左上方的平面区域为

.

答案:y>3x-1

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x ≥ 0, 5.若关于 x,y 的不等式组 y ≥ x, (k 是常数)所表示的平面区域的边界
kx-y + 1 ≥ 0

是一个直角三角形,则 k=

.

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解析:先画出不等式组

x y

≥ ≥

0x,对应的区域,如图所示的阴影部分.

因为直线 kx-y+1=0 过定点 A(0,1),且不等式 kx-y+1≥0 表示的区域在

直线 kx-y+1=0 的下方, 所以要使所表示的平面区域是直角三角形. 所以有直线 kx-y+1=0 与 y 轴垂直,或与直线 y=x 垂直. 所以 k=-1 或 k=0.
答案:-1 或 0