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2016届高考数学全国名校试题分项汇编(江苏特刊)专题16选修部分(第03期)(解析版)_图文


解答 1. 【 江 苏 省 扬 州 中 学 2015 — 2016 学 年 第 二 学 期 质 量 检 测 】 已 知 矩 阵

A

?

??1

? ?

0

02???,B

?

?1 ??0

2? 6??

,求矩阵

A?1B.

【答案】

A?1B

?

??1

? ?

0

?2?

3

? ?

【解析】

??1

试题分析:由逆矩阵公式得

A?1

?

? ?

0

?

0 1 2

? ? ? ?

,再利用矩阵运算得

A?1B

?

??1

? ?

0

?2?

3

? ?

??1 0 ?

A?1 ? ?

?0

试题解析:解:

?

1 2

? ? ?



A?1B

?

??1

? ?

0

?2?

3

? ?

2. 【江苏省扬州中学 2015—2016 学年第二学期质量检测】直角坐标系 xoy 内,直线 l 的参



方程

? ? ?

x y

? ?

2? 1?

2t 4t

(t

为参数),以

OX

为极轴建立极坐标系,圆

C

的极坐标方程为

? ? 2 2 sin(? ? ? ) ,确定直线 l 和圆 C 的位置关系. 4

【答案】直线 l 与圆 C 相交.

由 ? ? 2 2 sin??? ? ? ?? ,即 ? ? 2?sin? ? cos? ? ? ? 2 ? 2?? sin? ? ? cos? ? ,
? 4?
消去参数? ,得直角坐标方程为 ?x ?1?2 ? ?y ?1?2 ? 2 ..............5 分 由(1)得圆心 C?1,1?,半径 r ? 2 ,

2?1?3 2 5

∴ C 到 l 的距离 d ?

? ? 2?r,

22 ? 12 5

所以,直线 l 与圆 C 相交........................ 10 分

3. 【江苏省扬州中学 2015—2016 学年第二学期质量检测】计划在某水库建一座至多安装 3

台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库年入流量 X (年入流量:一年内

上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10

年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以

上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.

(1)求在未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率;

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X

限制,并有如下关系;

年入流量 X

40 ? X ? 80 80 ? X ? 120

X ? 120

发电机最多可运行台数

1

2

3

若某台发电机运行,则该台发电机年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台发

电机年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

【答案】(1) 0.9477 (2)2

试题解析:解:(1)由题意得:

P1

?

P(40

?

X

? 80)

?

10 50

?

1 5

,

P2

?

P(80 ?

X

? 120)

?

35 50

?

7 10 , P3

?

P(X

? 120)

?

5 50

?1 10

由二

项分布,在未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率为

P

?

C40 (1 ?

P3 )4

?

C41 (1 ?

P3 )3

P3

?

( 9 )4 10

?

4? ( 9 )3 10

?1 10

?

0.9477

(2) 设水电站年总利润为 y (万元)

①安装 1 台发电机, y ? 5000, Ey ? 5000.

②安装 2 台发电机, y 的分布列为

y 4200 10000

p 0.2 0.8 Ey ? 4200 ? 0.2+10000 ? 0.8=8840. ③安装 3 台发电机, y 的分布列为 y 3400 9200 15000 p 0.2 0.7 0.1 Ey ? 3400 ? 0.2+9200 ? 0.7 ?15000 ? 0.1=8620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台
4. 【江苏省扬州中学 2015—2016 学年第二学期质量检测】设数列?an? ( n ? N )为正实数
n
? 数列,且满足 Cni aian?i ? an2 . i?0 (1)若 a2 ? 4 ,写出 a0 , a1 ; (2)判断?an? 是否为等比数列?若是,请证明;若不是,请说明理由.
【答案】(1) a0 ? 1, a1 ? 2 (2)是等比数列
5.
【江苏省苏中三市(南通、扬州、泰州)2016 届高三第二次调研测试数学试题】如图,AB 是
圆 O 的直径,C 为圆 O 外一点,且 AB ? AC ,BC 交圆 O 于点 D,过 D 作圆 O 切线交 AC 于点 E.求证: DE ? AC

【答案】详见解析

6. 【江苏省苏中三市(南通、扬州、泰州)2016 届高三第二次调研测试数学试题】在平面

直角坐标系

xOy

中,设点

A??1, 2? 在矩阵 M

?

??1

? ?

0

0? 1??

对应的变换作用下得到点

A?

,将点

B ?3, 4? 绕点 A? 逆时针旋转 90 得到点 B? ,求点 B? 的坐标.

【答案】 ??1, 4?

【解析】

试题分析:先根据矩阵运算确定

A? ?1,

2?

,再利用向量旋转变换

N

?

?0 ??1

?1?

0

? ?

确定:

A?B?

.

因为

A?B

?

?

2,

2

?

,

A?B?

?

?

x

?1,

y

?

2?

,所以

? ? ?

x ? ?1 y?4

试题解析:解:设 B?? x, y? ,

依题意,由

??1

? ?

0

0? 1??

??1?

? ?

2

? ?

?

?1? ??2??

,得

A?

?1,

2?



...................................4



则 A?B ? ?2, 2?, A?B? ? ? x ?1, y ? 2? .

记旋转矩阵

N

?

?0 ??1

?1?

0

? ?

,..........................................6



?0 ?1? ?2? ? x ?1? ??2? ? x ?1?

?x ? ?1

则 ??1

0

? ?

??2??

?

? ?

y

?

2??

,即 ? ?

2

? ?

?

? ?

y

?

2??

,解得

? ?

y

?

4



所以点 B? 的坐标为 ??1, 4? . ...............................................10 分

7. 【江苏省苏中三市(南通、扬州、泰州)2016 届高三第二次调研测试数学试题】在平面

直角坐标系

xOy

中,已知直线

? ?? ? ? ??

x y

? ?

?1 ? ?1 ?

5 t, 5 2 5t 5



t

为参数)与曲线

? ? ?

x ? sin y ? cos

?, 2?

(?

为参数)

相交于 A, B 两点,求线段 AB 的长.

【答案】 5

8.

【江苏省苏中三市(南通、扬州、泰州)2016 届高三第二次调研测试数学试题】已知
a,b, c ? R, 4a2 ? b2 ? 2c2 ? 4 ,求 2a ? b ? c 的最大值. 【答案】 10
【解析】

试题分析:条件与目标之间关系符合柯西不等式,即

? ? ? ? ?
??

2a2

? b2 ?

2c

2

? ??

? ??12 ?

? 12

?

? ??

1 2

?2 ??

? ???

?

?2a

?

b

?

c

?2

,从而

?

10 ? 2a ? b ? c ?

10 ,

即可得到最值

9. 【江苏省苏中三市(南通、扬州、泰州)2016 届高三第二次调研测试数学试题】(本小题

满分 10 分)一个摸球游戏,规则如下:在一不透明的纸盒中,装有 6 个大小相同、颜色各异 的玻璃球.参加者交费 1 元可玩 1 次游戏,从中有放回地摸球 3 次.参加者预先指定盒中的 某一种颜色的玻璃球,然后摸球.当所指定的玻璃球不出现时,游戏费被没收;当所指定的

玻璃球出现 1 次,2 次,3 次时,参加者可相应获得游戏费的 0 倍,1 倍,k 倍的奖励( k ? N* ), 且游戏费仍退还给参加者.记参加者玩 1 次游戏的收益为 X 元.
(1)求概率 P ? X ? 0? 的值;

(2)为使收益 X 的数学期望不小于 0 元,求 k 的最小值.

(注:概率学源于赌博,请自觉远离不正当的游戏!)
【答案】(1) 25 (2)110. 72
【解析】

试题分析:(1)先明确事件“ X ? 0 ”表示“有放回的摸球 3 回,所指定的玻璃球只出现 1

次”,再根据概率计算方法得:C31

?

1 6

? ( 5)2 6

?

25 (2)先确定随机变量取法: X 72

的可能值为

k, ?1,1, 0 ,再分别求对应概率:

P?X

?

k

?

?

? ??

1 6

?3 ??

?

1 ,P?X
216

?

?1?

?

? ??

5 6

?3 ??

?

125 , P ? X
216

? 1?

?

3

?

? ??

1 6

?2 ??

?

5 6

?

5 72

,利用

数学期望公式得 E ? X ? ? k ? 1 ? ??1?? 125 ?1? 5 ? k ?110 (元).为使收益 X 的数学

216

216 72 216

期望不小于 0 元,所以 k ? 110 ,即 kmin ? 110 .

1 0. 【江苏省苏中三市(南通、扬州、泰州)2016 届高三第二次调研测试数学试题】(本小题

满分 10 分)设 S4k ? a1 ? a2 ? ? a4k ( k ? N* ),其中 ai ??0,1? ( i ? 1, 2, , 4k ).当 S4k 除以 4 的余数是 b ( b ? 0,1, 2,3 )时,数列 a1, a2 , , a4k 的个数记为 m ?b? . (1)当 k ? 2 时,求 m ?1? 的值;

(2)求 m ?3? 关于 k 的表达式,并化简.

【答案】(1) 64 (2) m ?3? ? 42k?1

【解析】 试题分析:(1)根据及时定义,确定条件:8 个数的和除以 4 的余数是 1,因此有 1 个 1 或 5

个 1,其余为 0,从而 m ? C81 ? C85 ? 64 (2) 4k 个数的和除以 4 的余数是 3,因此有 3 个 1,

? ? ? ? 或 7 个 1,或 11 个 1,…,或

4k ?1

个1

,其余为 0,m

3

?

C43k

? C47k

?

C11 4k

?

?

C4k 4k

?1



? ? ? ? 再根据组合数性质得 m 1 ? m 3 ? C41k ? C43k ? C49k ?

?

C 4k?3 4k

?

C 4k ?1 4k

?

24k ?1



? ? m 3 ? 24k?2 ? 42k?1

试题解析:解:(1)当 k ? 2 时,数列 a1, a2 , a3, , an 中有 1 个 1 或 5 个 1,其余为 0,所以 m ? C81 ? C85 ? 64 . .................................................3 分

11. 【南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试】选修 4—1:几何证明选讲

如图,在 Rt△ABC 中,AB=BC.以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,过 D 作 DE?BC,垂足为

E,连接 AE 交⊙O 于点 F.求证:BE?CE=EF?EA.

C

E

B

F

D

O

A 【答案】详见解析 【解析】
试题分析:由切割线定理得: BE 2 ? EF ? EA ,因此要证 BE?CE=EF?EA,只需证明 CE ? BE ; 因为 DE?BC,只需证明 CD ? BD ,而 AB 为直径,所以 BD ? AC ,又 AB=BC, AB ? BC ,所以
CD ? AD ? BD. 试题解析:证明:连接 BD.因为 AB 为直径,所以 BD⊥AC.
因为 AB=BC,所以 AD=DC.……………………4 分

因为 DE?BC,AB?BC,所以 DE∥AB,…………6 分 所以 CE=EB.………………………………………8 分 因为 AB 是直径,AB?BC,所以 BC 是圆 O 的切线, 所以 BE2=EF?EA,即 BE?CE=EF?EA.…………………………………………………………10 分
12. 【南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试】选修 4—2:矩阵与变换

已知

a,b

是实数,如果矩阵

A=

?3 ??b

a? ?2??

所对应的变换 T 把点(2,3)变成点(3,4).

(1)求 a,b 的值. (2)若矩阵 A 的逆矩阵为 B,求 B2.

【答案】(1)a=-1,b=5.(2)

B2

?

??1 ??? 5

1? 4??

(2)由逆矩阵公式求出矩阵

A

的逆矩阵:

A

?

?3 ??5

?1? ? 2??

?|

A

|?

?1 ?

B

?

A?1

?

?2 ??5

?1? ? 3??

再根据矩阵运算求

B2

?

??1 ??? 5

1? 4??

试题解析:解:(1)由题意,得

?3 ??b

a? ?2??

?2? ??3??

?

?3? ??4??

,得

6+3a=3,2b-6=4,…………………

4分

所以 a=-1,b=5.…………………………………………………………6 分

(2)由(1),得

A

?

?3 ??5

?1? ?2??

.由矩阵的逆矩阵公式得

B

?

?2 ??5

?1? ?3??

……………………8



所以

B2

?

??1 ??? 5

1? 4??

……………………………………………………………10



13. 【南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试】选修 4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线 l

的极坐标方程为 ? sin(? ?? ) ? 3

3 2

,

椭圆

C

的参数方程为

?? ? ??

x? y?

2 cos t 3 sin t

(t 为参数) .

(1)求直线 l 的直角坐标方程与椭圆 C 的普通方程;

(2)若直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

【答案】(1) y ? 3x ? 3 , x2 ? y2 ? 1(2) 16 .

43

5

试题解析:解:(1)由 ? sin(? ?? ) ? 3 , 得 3 ? cos? ? 1 ? sin? ? 3 , 3x ? y ? 3

3

22

2

2

化简得直线 l 的直角坐标方程是 y ? 3x ? 3 .………………………………2 分

由 ( x )2 ? ( y )2 ? cos2 t ? sin2 t ? 1 得椭圆 C 的普通方程为 x2 ? y2 ? 1………………4 分

2

3

43

?y ? 3x ? 3

(2)联立直线方程与椭圆方程,得

? ?

?

x2 ? y2

?1

消去 y,

?4 3

化简得

5x2-8x=0,解得

x1=0,x2=

8 5



所以 A(0,- 3 ),B( 8 , 3 3 ), 55

………………………………8 分

则 AB= (0 ? 8)2 ? (? 3 ? 3 3 )2 ? 16 . ………………………………10 分

5

5

5

14. 【南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试】选修 4—5:不等式选讲

解不等式:|x-2|+x|x+2|>2 【答案】{x|-3<x<-1 或 x>0}.【解析】 试题分析:解含绝对值不等式,一般方法为利用绝对值定义,分类讨论法:当 x≤-2 时,不等 式化为(2-x)+x(-x-2)>2,当-2<x<2 时,不等式化为(2-x)+x(x+2)>2,当 x≥2 时,不

等式化为(x-2)+x(x+2)>2,最后求这三类不等式解集的并集

试题解析:解:当 x≤-2 时,不等式化为(2-x)+x(-x-2)>2,

解得-3<x≤-2;

………………………………………………3 分

当-2<x<2 时,不等式化为(2-x)+x(x+2)>2,

解得-2<x<-1 或 0<x<2;

…………………………………………………6 分

当 x≥2 时,不等式化为(x-2)+x(x+2)>2,

解得 x≥2;

………………………………………………………9 分

所以原不等式的解集为{x|-3<x<-1 或 x>0}. ……………………………………………………10 分

15. 【南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试】(本小题满分 10 分)
甲、乙两人投篮命中的概率分别为 2 与 1 ,各自相互独立.现两人做投篮游戏,共比赛 3 局, 32
每局每人各投一球.

(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率; (2)设 ξ 表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值,求 ξ 的概率分布和数学期望 E(ξ). 【答案】(1) 11 (2)E(ξ) =1
36

试题解析:解:(1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个有以下几种情况:

甲进 1 球,乙进 0 球;甲进 2 球,乙进 1 球;甲进 3 球,乙进 2 球.

所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率

p

?

C31

2 3

(1)2 3

( 1 )3 2

?

C32

(

2)2 3

(

1 3

)C31

(

1 2

)3

?

C33 (

2 3

)3

C32

( 1 )3 2

?

11 36

…………………………………

4分

(2)ξ 的取值为 0,1,2,3,所以 ξ 的概率分布列为

ξ

0

1

2

3

P

7

11

5

1

24

24

24

24

…………………………………………………8 分

所以数学期望 E(ξ)=0× 7 +1× 11 +2× 5 +3× 1 =1.……………………………10 分

24

24 24

24

16. 【南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试】(本小题满分 10 分)

设(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n∈N*,n≥2.

(1)设 n=11,求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值;

(2)设

bk=

k n

?1 ?k

ak+1(k∈N,k≤n-1),Sm=b0+b1+b2+…+bm(m∈N,m≤n-1),求

|

Sm Cm
n?1

|

的值.

【答案】(1)1024,(2)1

试题解析:解:(1)因为 ak=(-1)k Cnk ,



n = 11

时 , |a6| + |a7| + |a8| + |a9| + |a10| + |a11| =

C161

?

C171

?

C181

?

C191

?

C10 11

?

C11 11



1 2

(C101

?

C111

?

?

C10 11

?

C11 11

)

?

210

? 1024. ……………………………………………3



(2)bk=

k n

? ?

1 k

ak+1=(-1)k+1

k ?1 n?k

Cnk?1 =(-1)k+1 Cnk ,……………………………………5





1≤k≤n-1

时,bk=(-1)k+1

Cnk =

(-1)k+1

(

Ck n?1

?

C k ?1 n?1

)=(-1)k+1

C k ?1 n?1

+(-1)k+1

Ck n?1

=(-1)k-1

C k ?1 n?1

-(-1)k

Ck n?1





……………………………………7

当 m=0 时, | Sm |?| b0 | =1.

Cm n?1

C0 n?1

……………………………………8 分

当 1≤m≤n-1 时,

m

? Sm=-1+

[(-1)k-1

C k ?1 n?1

-(-1)k

Ck n?1

]=-1+1-(-1)m

Cm n?1

=-(-1)m

Cm n?1



k ?1

所以 |

Sm Cm
n?1

|

=1.

综上, |

Sm Cm
n?1

|

=1.

……………………………………10 分

17. 【江苏省南京市 2016 届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】选修 4—1:

几何证明选讲 (本小题满分 10 分)

如图,△ABC 内接于圆 O,D 为弦 BC 上一点,过 D 作直线 DP // AC,交 AB 于点 E,交圆 O 在 A 点处的切线于点 P.求证:△PAE∽△BDE.
P

A

E

P C

B

D

P

P

P

【答案】详见解析

18. 【江苏省南京市 2016 届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】选修 4—2:矩阵与

变换(本小题满分 10 分)

变换

T1

是逆时针旋转

? 2

角的旋转变换,对应的变换矩阵是

M1;变换

T2 对应的变换矩阵是

M2=

?1 ??0

1? 1??



(1)点 P(2,1)经过变换 T1 得到点 P',求 P'的坐标; (2)求曲线 y=x2 先经过变换 T1,再经过变换 T2 所得曲线的方程. 【答案】(1)P'(-1,2).(2)y-x=y2. 【解析】

试题分析:(1)先写出旋转矩阵

M1=

?0 ??1

?1?

0

? ?

,再利用矩阵运算得到点

P'的坐标是

P'(-1,2).

(2)先按序确定矩阵变换

M=M2·M1=

?1 ??1

?1?

0

? ?

,再根据相关点法求曲线方程:即先求出对

应点之间关系,再代入已知曲线方程,化简得 y-x=y2.

试题解析:解:(1)M1=

?0 ??1

?1?

0

? ?



2分

……………………

M1

?2 ??1

? ? ?



??1?

? ?

2

? ?

.所以点

P(2,1)在

T1

作用下的点

P'的坐标是

P'(-1,2).

……5 分

(2)M=M2·M1=

?1 ??1

?1?

0

? ?



……………………7 分



? ? ?

x y

? ? ?

是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是

? ? ?

x0 y0

? ? ?

,



M

? ? ?

x0 y0

? ? ?



? ? ?

x y

? ? ?

,也就是

? ? ?

x0

? x0

y0 ?

? y

x



? ? ?

y0 ? x0

y ?

? y

x

所以,所求曲线的方程是 y-x=y2.

……………………10 分

19. 【江苏省南京市 2016 届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】选修 4—4:

坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设点 A,

B

分别在曲线

C1:

? ? ?

x y

? ?

3? 4?

2 cos? 2 sin ?

(θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,求 AB 的最大值



【答案】8.

【解析】

试题分析:先利用 cos2 ? +sin2 ? =1 消去参数得曲线 C1 普通方程,再利用 ? 2 =x2 ? y2 得曲线 C2

直角坐标方程,最后利用直线与圆位置关系求最值。 试题解析:曲线 C1:(x-3)2+(y-4)2=4,曲线 C2:x2+y2=1

……………………5 分

曲线 C1 是以(3,4)为圆心,1 为半径的圆;曲线 C2 是以(0,0)为圆心,1 为半径的圆,

可求得两圆圆心距为 5, AB≤5+2+1=8,所以 AB 的最大值为 8.

………………10 分

20. 【江苏省南京市 2016 届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】选修 4—5:

不等式选讲 (本小题满分 10 分)

已知:a≥2,x∈R. 求证:|x-1+a|+|x-a|≥3. 【答案】详见解析

21. 【江苏省南京市 2016 届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】(本小题满分 10 分)

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=2px(p>0)的准线 l 与 x 轴交于点 M,过 M 的直线与抛物线交于 A,B 两点.设 A(x1,y1)到准线 l 的距离为 d,且 d=λp(λ>0). (1)若 y1=d=1,求抛物线的标准方程;

(2)若 AM ? ? AB =0,求证:直线 AB 的斜率为定值.

l

y

B

A MO
X

【答案】(1)y2=2x.(2)详见解析

试题解析:解:(1)由条件知,A(1- p ,1),代入抛物线方程得 p=1. 2

所以抛物线的方程为 y2=2x.

………………………4 分

(2)设

B(x2,y2),直线

AB

的方程为

y=k(x+

p 2

).

将直线 AB 的方程代入 y2=2px,消 y 得 k2x2+p(k2-2)x+ k 2 p2 =0, 4

所以

x1=

?

p(k

2

?

2) ? 2 2k 2

p

1? k2

,x2=

?

p(k

2

?

2) ? 2 2k 2

p

1? k2

.……6 分

因为

d=λp,所以

x1+

p 2

=λp,又

AM

?

?

AB

=0,所以

x1+

p 2

=λ(x2-x1),

所以 p=x2-x1= 2 p

1? k2 k2



…………………………………8 分

所以 k2=2 2 -2,所以直线 AB 的斜率为定值. ………………10 分

22. 【江苏省南京市 2016 届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】(本小题满分

10 分) 设 f(n)=(a+b)n(n∈N*,n≥2),若 f(n)的展开式中,存在某连续 3 项,其二项式系数依次 成等差数列,则称 f(n)具有性质 P. (1)求证:f(7)具有性质 P;

(2)若存在 n≤2016,使 f(n)具有性质 P,求 n 的最大值. 【答案】(1)详见解析(2)1934.

23. 【南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试】选修 4—1:几何证明选讲
如图,已知半圆 O 的半径为 2,P 是直径 BC 延长线上的一点,PA 与半圆 O 相切于点 A, H 是 OC 的中点,AH⊥BC. (1)求证:AC 是∠PAH 的平分线; (2)求 PC 的长.
A



B

O HC

P

(第 21 题 A 图)

【答案】(1)详见解析(2)2

试题解析:证明: (1)连接 AB.

因为 PA 是半圆 O 的切线,所以∠PAC=∠ABC.

因为 BC 是圆 O 的直径,所以 AB⊥AC.

又因为 AH⊥BC,所以∠CAH=∠ABC,所以∠PAC=∠CAH,

所以 AC 是∠PAH 的平分线.

···········································5 分

(2)因为 H 是 OC 中点,半圆 O 的半径为 2,所以 BH=3,CH=1.

又因为 AH⊥BC,所以 AH2=BH·HC=3,所以 AH= 3 .

在 Rt△AHC 中,AH= 3 ,CH=1,所以∠CAH=30°.

由(1)可得∠PAH=2∠CAH=60°,所以 PA=2 3 .

由 PA 是半圆 O 的切线,所以 PA2=PC·PB, 所以 PC·(PC+BC)=(2 3 )2=12,所以 PC=2.

···········································10 分

24. 【南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试】选修 4—2:矩阵与变换

已知曲线

C:x2+2xy+2y2=1,矩阵

A=

?1 ??1

2? 0??

所对应的变换

T

把曲线

C

变成曲线

C1,求曲线

C1 的方程. 【答案】x2+y2=2

【解析】 试题分析:由矩阵变换得相关点坐标关系 x=y′,y= x? ? y? ,再代入已知曲线 C 方程,得 x2
2 +y2=2.

试题解析:解:设曲线

C

上的任意一点

P(x,y),P

在矩阵

A=

?1 ??1

2? 0??

对应的变换下得到点

Q(x′,

y′).



?1 ??1

2? ?x?

0??

? ?

y ??

?

? x??

? ?

y???





x+2y=x′,x=y′,

所以 x=y′,y= x? ? y? . 2

················································5 分

代入 x2+2xy+2y2=1,得 y′2+2y′ x? ? y? ·+2( x? ? y? )2=1,即 x′2+y′2=2,

2

2

所以曲线 C1 的方程为 x2+y2=2.

···········································10 分

25. 【南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试】选修 4—4:坐标系与参数方程

设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.已知椭圆 C 的参数方

程为

? ? ?

x ? 2cos? y ? sin?

(θ

为参数),点

M

的极坐标为(1, ? 2

).若

P

是椭圆

C

上任意一点,试求

PM

的最大值,并求出此时点 P 的直角坐标.

【答案】PM 的最大值是 4 3 ,此时点 P 的坐标是(± 2 2 ,- 1 ).

3

3

3

26. 【南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试】选修 4—5:不等式选讲
求函数 f(x)=5 x + 8 ? 2x 的最大值. 【答案】6 3 【解析】 试题分析:构造柯西不等式:[52+( 2 )2][( x )2+( 4 ? x )2)]≥(5· x + 2 · 4 ? x )2, 即得函数 f(x)=5 x + 8 ? 2x 的最大值为 6 3 . 试题解析:解:函数定义域为[0,4],且 f(x)≥0.
由柯西不等式得[52+( 2 )2][( x )2+( 4 ? x )2)]≥(5· x + 2 · 4 ? x )2,······················5 分
即 27×4≥(5· x + 2 · 4 ? x )2,所以 5 x + 8 ? 2x ≤6 3 .

当且仅当 2 x =5 4 ? x ,即 x= 100 时,取等号. 27
所以,函数 f(x)=5 x + 8 ? 2x 的最大值为 6 3 .

··································10 分

27. 【南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分 10 分)

从 0,1,2,3,4 这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数,记 X 为所组成的三位

数各位数字之和.

(1)求 X 是奇数的概率;

(2)求 X 的概率分布列及数学期望.

【答案】(1) 7 (2) 25

12

4

当 X=6 时,组成的三位数只能是由 0,2,4 或 1,2,3 三个数字组成,所以 P(X=6)= 10 = 5 ; 48 24
当 X=7 时,组成的三位数只能是由 0,3,4 或 1,2,4 三个数字组成,所以 P(X=7)=
10 = 5 ; 48 24
当 X=8 时,组成的三位数只能是由 1,3,4 三个数字组成,所以 P(X=8)= 6 = 1 ; 48 8

当 X=9 时,组成的三位数只能是由 2,3,4 三个数字组成,所以 P(X=9)= 6 = 1 ; 48 8
······························8 分 所以 X 的概率分布列为:

X

3

4

5

6

7

8

9

P

1

1

1

5

5

1

1

12

12

6

24

24

8

8

E(X)=3× 1 +4× 1 +5× 1 +6× 5 +7× 5 +8× 1 +9× 1 = 25 .························10 分

12

12

6

24

24

8

84

28. 【南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分 10 分)

在平面直角坐标系

xOy

中,点

P(x0,y0)在曲线

y=x2(x>0)上.已知

A(0,-1),Pn

(x

n 0

,

y0n

)



n∈N*.记直线 APn 的斜率为 kn. (1)若 k1=2,求 P1 的坐标; (2)若 k1 为偶数,求证:kn 为偶数. 【答案】(1)(1,1)(2)详见解析

试题解析:解:(1)因为

k1=2,所以

y0 ? 1 x0

?

x02 ? 1 x0

?

2



解得 x0=1,y0=1,所以 P1 的坐标为(1,1).

(2)设

k1=2p(p?N*),即

y0 ? 1 x0

?

x02 ? 1 x0

?

2p



所以 x02 -2px0+1=0,所以 x0=p± p2 ?1 .

因为

y0=x02,所以

kn=

y0n ? 1 x0n

?

x02n ? 1 x0n

?

x0n

?

1 x0n

····································2 分 ··································4 分

所以当 x0=p+ p2 ?1 时,

kn=(p+ p2 ?1 )n+(

1

)n=(p+ p2 ?1 )n+(p- p2 ?1 )n.····························6

p ? p2 ?1



同理,当 x0=p- p2 ?1 时,kn=(p+ p2 ?1 )n+(p- p2 ?1 )n.

m
? ①当 n=2m(m?N*)时, kn=2 Cn2k pn?2k (p2 ?1)k ,所以 kn 为偶数. k ?0

m
? ②当 n=2m+1(m?N)时,kn=2 Cn2k pn?2k (p2 ?1)k ,所以 kn 为偶数. k ?0

综上, kn 为偶数.

································10 分

29. 【江苏省苏锡常镇四市 2016 届高三教学情况调研(二)数学试题】选修 4 —1:几何证

明选讲

已知△ ABC 内接于 O , BE 是 O 的直径, AD 是 BC 边上的高. 求证: BA ? AC ? BE ? AD .

A E

O

B

D

C

(第 21-A 题)

【答案】详见解析

∴ ?BAE ? ?ADC . 又∵ ?BEA ? ?ACD ,

…………4 分

∴△ BEA ∽△ ACD . BE ? AC
∴ BA AD ,∴ BA ? AC ? BE ? AD .

…………7 分 …………10 分

30. 【江苏省苏锡常镇四市 2016 届高三教学情况调研(二)数学试题】选修 4—2:矩阵与

变换

已知变换 T 把平面上的点 (3,? 4) , (5,0) 分别变换成 (2,?1) , (?1,2) ,试求变换T 对应

的矩阵 M .

【答案】

M

?

??? ?

1 5

?2

?? 5

?

13 20

? ? ?

11 ?

20 ??

试题解析:解:设

M

?

?a ??c

b d

? ? ?

,由题意,得

?a ??c

b?? 3

d

? ?

???4

5? 0??

?

?2 ???1

?1?

2

? ?



3分

…………

?3a ? 4b ? 2 ,



??5a ??3c

? ?1, ? 4d ? ?1,

??5c ? 2 .

…………5 分

??a ?

?

?

1 5

,

解得

??b ? ??c

? ?

?
2 5

13 20
,

,

.

? ?d

?

11

? 20

…………9 分

M

?

??? ?

1 5

?2

即 ?? 5

?

13 20

? ? ?

11 ?

20 ?? .

…………10 分

31. 【江苏省苏锡常镇四市 2016 届高三教学情况调研(二)数学试题】选修 4—4:坐标系
与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 M (1,2) ,倾斜角为 ? ﹒以坐标原点 O 为极点, x 3 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C : ? ? 6cos? ﹒若直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点, 求 MA ? MB 的值.
【答案】1

试题解析:解:直线 l

的参数方程为

??? x ?

?1?

1 2

t,

(t

为参数

? ??

y

?

2

?

3 t, 2

),

…………2 分

圆 C 的普通方程为 (x ? 3)2 ? y2 ? 9 ﹒

…………4 分

直线 l 的参数方程代入圆 C 的普通方程,得 t2 ? 2( 3 ?1)t ?1 ? 0 ,

…………6 分

设该方程两根为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? ?1﹒ ∴ MA ? MB= t1 ? t2 =1 .

…………8 分 …………10 分

32. 【江苏省苏锡常镇四市 2016 届高三教学情况调研(二)数学试题】选修 4—5:不等式
选讲
? ? ? ? 设 x 为实数,求证: x2 ? x ? 1 2 ≤ 3 x4 ? x2 ? 1 ﹒

【答案】详见解析 【解析】

试题分析:利用作差法证明不等式,关键是提取公因式:右—左

=

2x4

?

2x3

?

2x

?

2

=

2(x

? 1)2

?? ?????

x

?

1 2

?2 ??

?

3?

4

? ??



0

试题解析:证明:因为 右—左= 2x4 ? 2x3 ? 2x ? 2

2分

…………

= 2(x ?1)(x3 ?1) ? 2(x ?1)2 (x2 ? x ? 1)

…………4 分

=

2(x

? 1)2

???????

x

?

1 2

?2 ? ?

?

3? ?
4 ??



0



所以,原不等式成立.

…………8 分 …………10 分

33. 【江苏省苏锡常镇四市 2016 届高三教学情况调研(二)数学试题】(本小题满分 10 分)

一个口袋中装有大小相同的 3 个白球和1个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,若有 3 次摸到红球即停止. (1)求恰好摸 4 次停止的概率; (2)记 4 次之内(含 4 次)摸到红球的次数为 X ,求随机变量 X 的分布列. 【答案】(1) 9 (2)详见解析
256

试题解析:解:(1)设事件“恰好摸 4 次停止”的概率为 P ,则

P

?

C32

?

( 1 )2 4

?

3 4

?

1 4

?

9 256



(2)由题意,得 X =0,1,2,3 ,

…………4 分

P( X

=

0)

?

C40

? (3)4 4

?

81 256



P( X

= 1)

?

C41

? (1) ? (3)3 44

?

27 64



P( X

=

2)

?

C42

? (1)2 4

? (3)2 4

?

27 128



P( X = 3) ? 1 ? 81 ? 27 ? 27 ? 13 , 256 64 128 256

…………8 分

∴ X 的分布列为

X0

1

2

3

81 27

P

256 64

…………10 分

27 13 128 256

34. 【江苏省苏锡常镇四市 2016 届高三教学情况调研(二)数学试题】(本小题满分 10 分)

设实数 a1 ,a2 , ,an 满足 a1 ? a2 ? ? an ? 0 ,且 | a1 | ? | a2 | ? ? | an |≤1 (n ? N * 且

n ≥ 2) ,令 bn

?

an n

(n ? N*)

.求证: | b1

? b2

?

【答案】详见解析

? bn

|≤

1 2

?

1 2n

(n ? N*) .

试题解析:证明:(1)当

n

?

2

时,

a1

?

?a2

,∴

2

|

a1

|?|

a1

|

?

|

a2

|≤1,即 |

a1

|≤

1 2



∴ | b1

? b2

|?|

a1

?

a2 2

|?

| a1 2

|≤

1 4

?

1 2

?

1 2?2

,即当 n

?

2 时,结论成立.

…………2 分

(2)假设当 n ? k (k ? N * 且 k ≥ 2) 时,结论成立,

即当 a1 ? a2 ? ? ak ? 0 ,且 | a1 | ? | a2 | ? ? | ak |≤1 时,

有 | b1 ? b2 ?

? bk

|≤

1 2

?

1 2k



…………3 分

则当 n ? k ? 1 时,由 a1 ? a2 ? ? ak ? ak?1 ? 0 ,且 | a1 | ? | a2 | ? ? | ak?1 |≤1 ,

∵ 2 | ak?1 |?| a1 ? a2 ? ? ak | ? | ak?1 |≤ a1 | ? | a2 | ? ? | ak?1 |≤1 ,



|

ak

?1

|≤

1 2



又∵ a1 ? a2 ? ? ak?1 ? (ak ? ak?1) ? 0 ,且

…………5 分

| a1 | ? | a2 | ? ? | ak?1 | ? | ak ? ak?1 |≤| a1 | ? | a2 | ? ? | ak?1 |≤1 ,

由假设可得 | b1 ? b2 ?

? bk ?1

?

ak

? ak ?1 k

|≤

1 2

?

1 2k



…………7 分

∴ b1 ? b2 ?

? bk ? bk?1 |?| b1 ? b2 ?

? bk ?1 ?

ak k

?

ak ?1 | k ?1

?| (b1 ? b2 ?

?

bk ?1

?

ak

? ak ?1 ) k

?

( ak ?1 k ?1

ak ?1 )|≤ k

1 2

?

1 2k

?|

ak ?1 k ?1

ak ?1 k

|

?

1 2

?

1 2k

?

(1 k

-

k

1) ?1

|

ak ?1

|≤

1 2

?

1 2k

?

(1 k

-

k

1 )? ?1

1 2

?

1 2

?

1 2(k ?1)



即当 n ? k ? 1 时,结论成立. 综上,由(1)和(2)可知,结论成立.

…………10 分

35. 【江苏省苏北三市(徐州市、连云港市、宿迁市)2016 届高三最后一次模拟考试】【选

修 4-1:几何证明选讲】(本小题满分 10 分)

如图,AB 是圆 O 的直径,弦 BD, CA 的延长线相交于点 E ,过 E 作 BA 的延长线的垂线,

垂足为 F ,求证: AB2 ? BE ? BD ? AE ? AC .

【答案】详见解析 【解析】 试题分析:涉及线段乘积,一般利用三角形相似寻找条件:由△ ABC ∽△ AEF ,得 AB ? AF ? AE ? AC ,又 A, D, E, F 四点共圆,由相交弦定理得 BD ? BE ? BA? BF .两式相减得 结论 试题解析:解:连接 AD ,因为 AB 为圆的直径,所以 AD ? BD , 又 EF ? AB ,则 A, D, E, F 四点共圆,

所以 BD ? BE ? BA? BF . …………………………………………………………………5 分
又△ ABC ∽△ AEF , 所以 AB ? AC ,即 AB ? AF ? AE ? AC ,
AE AF 所以 BE ? BD ? AE ? AC ? BA? BF ? AB ? AF ? AB ? (BF ? AF ) ? AB2 .…………………10 分

36. 【江苏省苏北三市(徐州市、连云港市、宿迁市)2016 届高三最后一次模拟考试】【选

修 4-2:矩阵与变换】(本小题满分 10 分)

已知矩阵

A

?

?1 ???1

2? 4??

,向量

a

?

?5? ??3??

,计算

A5

a

.

【答案】

?371? ??307??

3 7. 【江苏省苏北三市(徐州市、连云港市、宿迁市)2016 届高三最后一次模拟考试】【选修

4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分)

在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为? ? ? (? ? R) ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正 3

半轴建立平面直角坐标系,曲线 C

的参数方程为

? ? ?

y

x ? 2sin? ? 1? cos 2?

(?

为参数),求直线 l

与曲线 C 交点 P 的直角坐标.

【答案】(0,0).

【解析】

试题分析:先将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程: y ? 3x ,再将参数方程化为普通方
程: y ? 1 x2 (x ?[?2, 2]) ,注意参数取值范围,最后根据解方程组得 P 点的直角坐标 2
试题解析:解:直线 l 的普通方程为 y ? 3x ,



……………………3 分

曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 1 x2 (x ?[?2, 2]) ,② 2

联立①②解方程组得

?x

? ?

y

? ?

0, 0



?? ?

x

?

2

3,

?? y ? 6.

……………………6 分

根据

x

的范围应舍去

?? ?

x

?

2

3,

?? y ? 6,

故 P 点的直角坐标为(0,0).

……………………10 分

38. 【江苏省苏北三市(徐州市、连云港市、宿迁市)2016 届高三最后一次模拟考试】【选

修 4-5:不等式选讲】(本小题满分 10 分)

已知 a, b ? R , a ? b ? e (其中 e 是自然对数的底数),求证: ba ? ab .

【答案】详见解析

所以,当 a

?

b

?

e 时,有

f

(b)

?

f

(a)

ln b ,即 b

?

ln a a

.

……………………10 分

39. 【江苏省苏北三市(徐州市、连云港市、宿迁市)2016 届高三最后一次模拟考试】(本

小题满分 10 分) 已知甲箱中装有 3 个红球、3 个黑球,乙箱中装有 2 个红球、2 个黑球,这些球除颜色外 完全相同. 某商场举行有奖促销活动,设奖规则如下:每次分别从以上两个箱中各随机 摸出 2 个球,共 4 个球. 若摸出 4 个球都是红球,则获得一等奖;摸出的球中有 3 个红 球,则获得二等奖;摸出的球中有 2 个红球,则获得三等奖;其他情况不获奖. 每次摸 球结束后将球放回原箱中. (1)求在 1 次摸奖中,获得二等奖的概率;

(2)若连续摸奖 2 次,求获奖次数 X 的分布列及数学期望 E( X ) .

【答案】(1) 7 (2) E( X ) ? 22

30

15

试题解析:(1)设“在 1 次摸奖中,获得二等奖”为事件 A ,

则 P( A) ?

C32C12C12 +C13C13C22 C62 ? C42

?

7 30



(2)设“在 1 次摸奖中,获奖” 为事件 B ,

…………………………4 分

则获得一等奖的概率为

P1

=

C32C22 C62 ? C42

?

1; 30

获得三等奖的概率为

P3

=

2C32C22 +C13C13C12C12 C62 ? C24

?7 15



所以 P(B) ? 1 ? 7 ? 7 ? 11 .……………………………………………………………8 分 30 30 15 15
由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.

P( X

?

0)

?

(1 ? 11)2 15

?

16 225



P( X

? 1)

?

C12

11 (1 ? 11) 15 15

?

88 225



P( X

?

2)

?

(11)2 15

?

121 225



所以 X 的分布列是

X

0

1

2

P(X )

16

88 121

225 225 225

E( X ) ? 0 ? 16 ? 1? 88 ? 2 ? 121 ? 22

所以

225 225 225 15 .

……………………………10 分

40. 【江苏省苏北三市(徐州市、连云港市、宿迁市)2016 届高三最后一次模拟考试】(本

小题满分 10 分)

在集合 A ? {1, 2,3, 4, , 2n} 中,任取 m(m ? n, m, n ? N*) 个元素构成集合 Am . 若 Am 的

所有元素之和为偶数,则称 Am 为 A 的偶子集,其个数记为 f (m) ;Am 的所有元素之和为

奇数,则称 Am 为 A 的奇子集,其个数记为 g(m) . 令 F (m) ? f (m) ? g(m) .

(1)当 n ? 2 时,求 F (1), F (2), F (3) 的值;

(2)求 F (m) .

【答案】(1)

F

(1)

?

0



F

(2)

?

?2



F

(3)

?

0

,(2)

F

(m)

?

???(?1)

m 2

m
Cn2

,

m为偶数,

??0,     m为奇数.

试题解析:解(1)当 n ? 2 时,集合为{1, 2, 3, 4},

当 m ? 1 时,偶子集有{2},{4},奇子集有{1},{3} , f (1) ? 2, g(1) ? 2 , F (1) ? 0 ;

当 m ? 2 时,偶子集有{2, 4},{1,3} ,奇子集有{1, 2},{1, 4},{2,3},{3, 4},

f (2) ? 2, g(2) ? 4 , F (2) ? ?2 ;

…………………………………………3 分

当 m ? 3 时,偶子集有{1, 2,3},{1,3, 4} ,奇子集有{1, 2, 4},{2,3, 4},

f (3) ? 2, g(3) ? 2 , F (3) ? 0 ;

…………………………………………4 分

(2)当 m 为奇数时,偶子集的个数 f (m) ? C0nCnm ? Cn2Cnm?2 ? Cn4Cnm?4 ?

?

Cnm

C ?1 1 n



奇子集的个数

g(m)

?

C1nC

m?1 n

?

C3n

Cm?3 n

?

? CnmC0n ,

所以 f (m) ? g(m), F (m) ? f (m) ? g(m) ? 0 .

…………………………………6 分

当m

为偶数时,偶子集的个数

f

(m)

?

C0nCnm

? Cn2Cnm?2

?

Cn4

Cm?4 n

?

? CnmC0n ,

奇子集的个数

g(m)

?

C1nC

m?1 n

?

C3n

Cm?3 n

?

? Cnm?1C1n ,

所以 F (m) ? f (m) ? g(m)

?

C0nCnm

?

C1nCnm?1

?

C2nCnm?2

?

C3n

Cm?3 n

?

?

C

C m?1 1
nn

?

CnmC0n



………7 分

一方面,

41. 【南通市 2016 届高三下学期第三次调研考试数学试题】【选修 4-1】几何证明选讲(本
小题满分 10 分)
在 ?ABC 中, ?A ? 2?B, ?C 的平分线交 AB 于点 D , ?A 的平分线交 CD 于点 E . 求证: AD ? BC ? BD ? AC .
【答案】详见解析

【解析】
试题分析:研究线段比值问题,一般利用三角形相似,因为 ?ECA ? ?DCB ,?CAE ? ?B , 因此 ?ACD ?BCD ,从而 AE ? AC ,以下转化为证明 AD ? AE ,这可利用角相等推出.
BD BC 试题解析:解:因为 ?CAB ? 2?B, AE 为 ?CAB 的平分线,所以 ?CAE ? ?B

又因为 CD 是 ?C 的平分线,所以 ?ECA ? ?DCB 所以 ?ACD ?BCD ,所以 AE ? AC ,即 AE ? BC ? BD ? AC
BD BC 又因为 ?AED ? ?CAE ? ?ECA, ?ADE ? ?B ? ?DCB

所以 ?AED ? ?ADE ,所以 AD ? AE 所以 AD ? BC ? BD ? AC

42. 【南通市 2016 届高三下学期第三次调研考试数学试题】【选修 4-2:矩阵与变换】(本小

题满分 10 分)

在平面直角坐标系

xOy

中,直线

x

?

y

?

2

?

0

在矩阵

A

?

?1 ??1

a? 2??

对应的变换作用下得到

直线 x ? y ? b ? 0?a,b ? R? ,求 a ? b 的值.

【答案】 a ? b ? 4

4 3. 【南通市 2016 届高三下学期第三次调研考试数学试题】【选修 4-4:坐标系与参数方程】
(本小题满分 10 分)

在平面直角坐标系

xOy

中,曲线

C

的参数方程为

?? x ?

?

2

cos?

?

3 (? 为参数)以原点

?? y ? 2sin?

O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为? ? ? .若直线 l 与 6

曲线 C 交于 A, B ,求线段 AB 的长.

【答案】 13

44. 【南通市 2016 届高三下学期第三次调研考试数学试题】【选修 4-5:不等式选讲】(本小
题满分 10 分)
已知 x ? 0, y ? 0, z ? 0 ,且 xyz ? 1 ,求证: x3 ? y3 ? z3 ? xy ? yz ? xz
【答案】详见解析 【解析】
试题分析:根据三元均值不等式得 x3 ? y3 ? z3 ? 3xyz ,x3 ? y3 ?1 ? 3xy ,y3 ? z3 ?1 ? 3yz , x3 ? z3 ?1 ? 3xz ,四式相加,得 x3 ? y3 ? z3 ? xy ? yz ? xz 试题解析:解:因为 x ? 0, y ? 0, z ? 0 所以 x3 ? y3 ? z3 ? 3xyz x3 ? y3 ?1 ? 3xy , y3 ? z3 ?1 ? 3yz , x3 ? z3 ?1 ? 3xz

将以上各式相加,得 3x3 ? 3y3 ? 3z3 ? 3 ? 3xyz ? 3xy ? 3yz ? 3xz 又因为 xyz ? 1,从而 x3 ? y3 ? z3 ? xy ? yz ? xz
45. 【南通市 2016 届高三下学期第三次调研考试数学试题】在平面直角坐标系 xOy 中,已

知抛物线

y2

?

2

px ?

p

?

0? 上一点

P

? ??

3 4

,

m

? ??

到准线的距离与到原点

O

的距离相等,抛

物线的焦点为 F .
(1)求抛物线的方程;

(2)若 A 为抛物线上一点(异于原点 O ),点 A 处的切线交 x 轴于点 B ,过 A 作准线的 垂线,垂足为点 E .试判断四边形 AEBF 的形状,并证明你的结论.

【答案】(1) y2 ? 6x (2)菱形.

试题解析:解:(1)由题意点

P

? ??

3 4

,

m

? ??

到准线的距离为

PO

由抛物线的定义,点 P 到准线的距离为 PF

所以

PO

?

PF

,即点

P

? ??

3 4

,

m

? ??

在线段 OF

的中垂线上,

所以 p ? 3 , p ? 3 ,所以抛物线的方程为 y2 ? 6x 44

由抛物线的对称性,设点

A ???

1 6

y02 ,

y0

? ??



x

轴的上方,所以点

A

处切线的斜率为

3 y0

所以点

A 处切线的方程为

y?

y0

?

3 y0

? ??

x

?

1 6

y02

? ??

令上式中

y

?

0 ,得

x

?

?

1 6

y02

所以点

B

的坐标为

? ??

?

1 6

y02

,

0

? ??

,又

E

? ??

?

3 2

,

y0

? ??

,

F

? ??

3 2

,

0

? ??

,所以

FA

?

? ??

1 6

y02

?

3 2

,

y0

? ??

,

BE

?

? ??

1 6

y02

?

3 2

,

y0

? ??

,所以

FA

?

BE

,所以

FA

BE ,又 AE

FB

故四边形 AEBF 为平行四边形 再由抛物线的定义,得 AF ? AE ,所以四边形 AEBF 为菱形.

46. 【南通市 2016 届高三下学期第三次调研考试数学试题】(本小题满分 10 分)

? ? 甲,乙两人进行围棋比赛,共比赛 2n n ? N ? 局,根据以往比赛胜负的情况知道,每局
甲胜的概率和乙胜的概率均为 1 .如果某人获胜的局数多于另一人,则此人赢得比赛.记 2
甲赢得比赛的概率为 P ?n? .

(1)求 P ?2? 与 P ?3? 的值;

(2)试比较 P ?n? 与 P ?n ?1? 的大小,并证明你的结论.

【答案】(1) P ?2? ? 5 , P ?3? ? 5 (2) P ?n? ? P ?n ?1?

16

16

试题解析:解:(1)若甲、乙比赛 4 局甲获胜,则甲在 4 局比赛中至少胜 3 局

所以

P?2?

?

C43

? ??

1 2

?4 ??

? C44

? ??

1 2

?4 ??

?

5 16

同理

P ?3?

?

C64

? ??

1 2

6
? ??

?

C65

? ??

1 2

6
? ??

? C66

? ??

1 2

6
? ??

?

5 16

(2)在 2n 局比赛中甲获胜,则甲胜的局数至少为 n ?1局

? ? 故 P

n

?

C n?1 2n

? ??

1 2

2n
? ??

?

C n?2 2n

? ??

1 2

2n
? ??

?

?

C 2n 2n

? ??

1 2

2
? ??

n

? ? ? ? ?

C n?1 2n

?

C n?2 2n

?

?

C2n 2n

?

? ??

1 2

2n
? ??

?

1 2

22n ? C2nn

?

? ??

1 2

2n
? ??

?

1 2

? ?1? ?

C2nn 22n

? ? ?

? ? 所以 P

n ?1

?

1 2

? ?1? ?

C n?1 2n?2
22n?2

? ? ?

C2nn

又因为

22n C n?1
2n?2

? 4C2nn C n?1
2n?2

?

4 ?2n?!
n!n!
?2n ? 2?!

4?n ?1?2

2?n ?1?

?

?

?1

?2n ? 2??2n ?1? 2n ?1

22n?2

?n ?1?!?n ?1?!

? ? ? ? C2nn
所以 22n

?

C n?1 2n?2
22n?2

,所以 P

n

?P

n ?1

47. 【盐城市 2016 届高三年级第三次模拟考试】(选修 4—1:几何证明选讲)

如图, AB 是圆 O 的直径,弦 CA, BD 的延长线相交于点 E , EF 垂直 BA 的延长线于点

F ,连结 FD . 求证: ?DEA ? ?DFA .
C

FA

·O

B

ED 第 21 题(A)图

【答案】详见解析

48. 【盐城市 2016 届高三年级第三次模拟考试】(选修 4—2:矩阵与变换)

已知矩阵

M

?

?2 ??n

m 1

? ? ?

的两个特征向量

?1

?

?1 ??0

? ? ?



?

2

?

?0?

??1

? ?

,若 ?

?

?1 ? ??2??

,求 M2?

.

?4? 【答案】 ??2??

49. 【盐城市 2016 届高三年级第三次模拟考试】(选修 4—4:坐标系与参数方程)

已知直线

l

的参数方程为

? ?

x

?

?

1?

t 2

,曲线

C

的极坐标方程为

?

?

4 sin ?

,试判断直线 l



?? y ? t

曲线 C 的位置关系.

【答案】相交

【解析】

试题分析:先根据代入消元法将直线 l 的参数方程化为普通方程 2x ? y ? 2 ? 0 ,再将极坐标

方程化为直角坐标方程 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,最后根据圆心到直线距离与半径大小关系判断直线 l 与曲线 C 的位置关系

试题解析:解:直线 l 的普通方程为 2x ? y ? 2 ? 0 ; 曲线 C 的直角坐标方程为:

x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,它表示圆. …………………4 分

d? 4 ?4 5?2

由圆心到直线 l 的距离

55

,得直线 l 与曲线 C 相交.

………10 分

50. 【盐城市 2016 届高三年级第三次模拟考试】(选修 4—5:不等式选讲)

已知正数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? 3z ? 1,求 1 ? 2 ? 3 的最小值. xyz
【答案】 36

51. 【盐城市 2016 届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分 10 分)
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时, 负的一方在下一局当裁判,假设每局比赛中,甲胜乙的概率为 1 ,甲胜丙、乙胜丙的概
2 率都为 2 ,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.
3 (1)求第 3 局甲当裁判的概率;
(2)记前 4 局中乙当裁判的次数为 X ,求 X 的概率分布与数学期望.

【答案】(1) 4 (2) E( X ) ? 25

9

27

试题解析:解:(1)第 2 局中可能是乙当裁判,其概率为 1 ,也可能是丙当裁判,其概率为 2 ,

3

3

所以第 3 局甲当裁判的概率为 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 4 . 33 32 9

……………………4 分

(2) X 可能的取值为 0,1, 2 .

……………………5 分

p( X ? 0) ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ; 323 9

……………………6 分

p( X ? 1) ? 1 ? (1 ? 2 ? 2 ? 1) ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 17 ; …………………7 分 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 27

p( X ? 2) ? 1 ? ( 2 ? 1 ? 1 ? 1) ? 4 . 3 3 2 3 3 27

……………………8 分

E( X ) ? 0? 2 ?1? 17 ? 2? 4 ? 25

所以 X 的数学期望

9 27 27 27 .

………………10 分

52. 【盐城市 2016 届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分 10 分)

记 f (n) ? (3n ? 2() C22 ? C32 ? C42 ? ? Cn2 )(n ? 2, n ? N *) . (1)求 f (2), f (3), f (4) 的值;

(2)当 n ? 2, n ? N * 时,试猜想所有 f (n) 的最大公约数,并证明.

【答案】(1) f (2) ? 8, f (3) ? 44, f (4) ? 140 (2) 4 .
【解析】
试题分析:(1)先化简 f (n) ? (3n ? 2)(C22 ? C32 ? C42 ? ? Cn2 ) ? (3n ? 2)Cn3?1 ,再代入求值: f (2) ? 8, f (3) ? 44, f (4) ? 140 (2)猜想所有 f (n) 的最大公约数为 4 .即证

f (k) ? (3k ? 2)Ck3?1 能被 4 整除,因为当 n ? k ?1 时, f (k ?1) ? (3k ? 5)Ck3?2 ,根据组合数
性质化简得

(3k

?

2)Ck3?2

? 3Ck3?2

?

(3k

?

2)(Ck3?1

?

C2 k ?1

)

?

(k

?

2)Ck2?1

?

(3k

?

2)Ck3?1

?

4(k

?1)Ck2?1 ,以

下就可得证

试题解析:解:(1)因为 f (n) ? (3n ? 2)(C22 ? C32 ? C42 ? ? Cn2 ) ? (3n ? 2)Cn3?1 ,所以

f (2) ? 8, f (3) ? 44, f (4) ? 140 . ……………………3 分



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