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高中数学北师大版必修5课件:第2章§3《解三角形的实际应用举例》_图文


学习目标 1 .运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题. 2 .通过对实际问题的探索,会利用数学建模 思想把实际问题转化为数学问题,增强解决实 际问题的能力,培养数学应用意识. §3 解 三 角 形 的 实 际 应 用 举 例 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 温故夯基 1.正弦定理 a b c 2R = = =____. sinA sinB sinC 2.余弦定理 a2+c2-2accosB ; b2+c2-2bccosA ;b2=_______________ a2=_______________ a2+b2-2abcosC c2=_______________. 3.解决实际问题的一般步骤 分析、建模、求解、检验 即: 知新益能 1.仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和 目标视线的夹角.目标视线 上方 时叫仰角, 在水平视线_____ 下方 目标视线在水平视线_____ 时叫俯角,如图所示. 2.方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 , 如B点的方位角为α(如图1所示). 3.方位角的其他表示——方向角 (1)正南方向:指从原点O出发的经过目标的射 线与正南的方向线重合,即目标在正南的方向 线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西 方向. (2) 东南方向:指经过目标的射线是正东和正 南的夹角平分线(如图2所示). 问题探究 怎样将实际问题抽象成解三角形问题? 提示:将距离问题抽象成三角形中的边长问题, 将方向等含有角度的问题抽象成三角形中的角 的问题.例如,测量某条河宽时,把河宽看成 一条线段,通过构造三角形,把这条线段看成 某三角形的一边,通过解三角形来解决;再比 如,测量山或建筑物等的高度,把它们的高度 看成一条线段长,通过构造直角三角形,把这 条线段看成直角三角形的直角边或斜边,通过 解直角三角形来解决. 要注意: (1) 如果所解的三角形中,已知三边 或已知两边及一角或两角及一边时,直接利 用正弦定理或余弦定理求解,如果条件不满 足,那么将缺少的元素即边或角放到其他三 角形中,再通过解三角形得到. (2) 解三角形 应用题时,由于具体问题中给出的数据通常 为有效近似值,故运算过程一般较为复杂, 可以借助于计算器计算,当然还应达到算法 简练、算式工整、计算准确等要求. (3)如果 将正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”, 那么解三角形应用题的实质就是把未知量按方 程的思想进行处理,解题时应根据已知量与未 知量,合理选择一个比较容易解的方程,从而 使解题过程简洁.(4)准确理解题意,分清已知 与所求,尤其要理解应用题中的有关名词和术 语,这是解决问题的前提和基础. 课堂互动讲练 考点突破 测量距离问题 测量不可到达的两点的距离时,若其中一点可 以到达,利用一个三角形即可解决,一般用正 弦定理;若两点均不可到达,则需要用两个三 角形才能解决,一般正、余弦定理都要用到. 例1 (2009年高考辽宁卷)如 图所示,A、B、C、D都在同 一个与水平面垂直的平面内, B、D为两岛上的两座灯塔的 塔顶.测量船于水面A处测 得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°, 30°,于水 面C处测得B点和D点的仰角均为60°, AC= 0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点 间距离相等,然后求 B、D 的距离(计算结果精 确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449.) 【思路点拨】 根据图中的已知条件求出一 些点与点之间的距离,结合图形和计算出的 距离作出判断,然后把B、D间距离的计算转 化为找到的与B、D间距离相等的另外两点之 间的距离. 【解】 在△ACD 中,∠DAC=30° ,∠ADC=60° -∠DAC=30° , 所以 CD=AC=0.1.又∠BCD=180° -60° -60° = 60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线, 所以 BD=BA. AB AC 在△ABC 中, = , sin∠BCA sin∠ABC ACsin60° 3 2+ 6 即 AB= = , sin15° 20 3 2+ 6 因此,BD= ≈0.33 (km). 20 故 B、D 的距离约为 0.33 km. 【名师点评】 要计算距离就必须把这个距 离归结到一个三角形中,通过正弦定理或余弦 定理进行计算,但无论是正弦定理还是余弦定 理都得至少知道三角形的一个边长,即在解决 问题时,必须把我们已知道长度的那个边和需 要计算的那个边纳入到同一个三角形中,或是 通过间接的途径纳入到同一个三角形中,这是 我们分析这类问题的一个基本出发点. 自我挑战 1 (2010 年高考陕西卷) 如图,A,B 是海面上位于东西方 向相距 5(3+ 3)海里的两个观测 点.现位于 A 点北偏东 45° ,B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号, 位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间? 解:由题意知 AB=5(3+ 3)海里, ∠DBA=90° -60° =30° ,∠DAB=90° -45° = 45° , ∴∠ADB=180° -(45° +30° )=105° . DB 在 △ DAB 中 , 由 正 弦 定 理 得 = sin∠DAB AB , sin∠ADB AB· sin∠DAB 5?3+ 3?· sin45° ∴DB= = sin105° sin∠ADB 5?3+ 3?· sin45° = sin45° cos60° +cos45° sin60° 5 3? 3+1? = =10 3(海里). 3+1 2 又∠DBC=∠DBA+∠ABC =30° +(90° -60° )=60° , BC=


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