2019年高考数学一轮复习 第七章 第一节 空间几何体的结构特征及其三视图和直观图演练知能检测 文

2019 年高考数学一轮复习 第七章 第一节 空间几何体的结构特征及其三 视图和直观图演练知能检测 文

[全盘巩固]

1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )

A．球的三视图总是三个全等的圆

B．正方体的三视图总是三个全等的正方形

C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形

D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆

解析：选 A 画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图

总是三个全等的圆．

2．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )

A．球

B．三棱锥

C．正方体

D．圆柱

解析：

选 D 球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项 A 和 C.对于如图所

示三棱锥 O?ABC，当 OA、OB、OC 两两垂直且 OA＝OB＝OC 时，其三视图的形状都相同，大小

均相等，故排除选项 B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选 D.

3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角均为 45°，腰和上底均为 1 的

等腰梯形，那么原平面图形的面积是 ( )

A．2＋ 2

B.1＋2 2

C.2＋2 2

D．1＋ 2

解析：选 A 由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为 45°，腰和

上底长均为 1，得下底长为 1＋ 2，所以原图是上、下底分别为 1,1＋ 2，高为 2 的直角梯

形．所以面积 S＝12×(1＋ 2＋1)×2＝2＋ 2.

4．某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体 的俯视图的是( )

A．(1)(3)

B．(1)(3)(4)

C．(1)(2)(3)

D．(1)(2)(3)(4)

解析：选 A 若图(2)是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相

切，故图(2)不合要求；若图(4)是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图(4)不合要求，

故选 A.

5．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，选项中不可能是该锥体的俯视图的是( )

解析：选 C 若俯视图是等边三角形且为图中的位置，则正视图是等腰三角形，且高线 是实线，故选 C.
6.

(xx·宁波模拟)一个几何体的三视图如图所示，其正视图的面积等于 8，俯视图是一个

面积为 4 3的正三角形，则其侧视图的面积为( )

A．4 3

B．8 3

C．8 2

D．4

解析：选 A 由三视图知该几何体是正三棱柱，设其底面边长为 a，高为 h，则其正视

图为矩形，矩形的面积 S1＝ah＝8，俯视图为边长为 a 的正三角形，三角形的面积 S2＝ 43a2

＝4

3，则

a＝4，h＝2，而侧视图为矩形，底边为

23a，高为

h，故侧视图的面积为

S＝

3 2

ah＝4 3. 7.如图所示，在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点，则三棱锥 P?ABC
的正视图与侧视图的面积的比值为________．

解析：三棱锥 P?ABC 的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等， 面积比值为 1.
答案：1 8.

对于长和宽分别相等的两个矩形，给出下列三个命题： ①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图所示； ②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图所示； ③存在圆柱，其正视图、俯视图如图所示． 其中为真命题的是________(填序号)． 解析：只要把底面为等腰直角三角形的直三棱柱的一个侧面放在水平面上，就可以使得 这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放 置在水平面上，即可使得这个四棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题②是真命题；只要 把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，故命题③也是真命题． 答案：①②③ 9．已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中 AB＝AC，四边形 BCDE 为矩形)，则该组 合体的俯视图可以是________(把正确的图的序号都填上)．
解析：几何体由四棱锥与四棱柱组成时，得①正确；几何体由四棱锥与圆柱组成时，得 ②正确；几何体由圆锥与圆柱组成时，得③正确；几何体由圆锥与四棱柱组成时，得④正确．故 填①②③④.
答案：①②③④ 10．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何 体的三视图，试说明该几何体的构成．
解：图①几何体的三视图为：
图②所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．正四棱锥的高为 3，侧棱长为 7，求侧面上的斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？

解：如图所示，在正四棱锥 S?ABCD 中，高 OS＝ 3，侧棱 SA＝SB＝SC＝SD＝ 7， 在 Rt△SOA 中，OA＝ SA2－OS2＝2， ∴AC＝4.
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2 2. 作 OE⊥AB 于 E，则 E 为 AB 的中点． 连接 SE，则 SE 即为斜高， 在 Rt△SOE 中， ∵OE＝12BC＝ 2，SO＝ 3，
∴SE＝ 5，即侧面上的斜高为 5. 12．已知正三棱锥 V?ABC 的正视图、侧视图和俯视图，如图所示．

(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积．
解：(1)如图所示．

(2)根据三视图间的关系可得 BC＝2 3，

∴侧视图中 VA＝

42－???23×

3 2 ×2

3???2＝2

3，

∴S△VBC＝12×2 3×2 3＝6.

[冲击名校]

1．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面中面积的最大值是( )

A．8

B．6 2

C．10

D．8 2

解析：选 C 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为 6,6 2， 8,10，所以面积最大的是 10.
2．已知一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在 该几何体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点，这些几何形体是 ________(写出所有正确结论的序号)．

①矩形； ②不是矩形的平行四边形； ③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体． 解析：由该几何体的三视图可知该几何体为底面边长为 a，高为 b 的长方体，这四个顶 点的几何形体若是平行四边形，则一定是矩形，故②不正确．故填①③④⑤. 答案：①③④⑤

2019 年高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第 18 讲 任意角

和弧度制及任意角的三角函数实战演练 理

1．(xx·福建模拟)已知点 P???sin

3π 4

，cos

3π 4

???落在角

θ

的终边上，且 θ

∈[0,2π )，

则 θ 的值为( D )

A．π4

B．34π

C．54π

D．74π

解析：由 sin

3π 4

＞0，cos

3π 4

＜0

知角

θ

是第四象限的角，

∵tan

θ

cos ＝
sin

3π 4 3π ＝－1，θ 4

∈[0,2π )，∴θ

＝74π .

2．(xx·新课标全国卷Ⅰ)若 tan α >0，则( C )

A．sin α >0

B．cos α >0

C．sin 2α >0

D．cos 2α >0

解析：由 tan α >0 得 α 是第一或第三象限角，若 α 是第三象限角，则 A，B 错；由

sin 2α ＝2sin α cos α 知 sin 2α >0，C 正确；α 取π3 时，cos 2α ＝2cos2α －1＝2×???12???

2－1＝－12<0，D 错，故选 C．

3．(xx·大纲全国卷)已知角 α 的终边经过点(－4,3)，则 cos α ＝( D )

4 A．5

3 B．5

C．－35

D．－45

解析：由三角函数的定义知 cos α ＝

－4

4

－ 2＋32＝－5.

4．(xx·陕西模拟)一扇形的圆心角为 120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比

7＋4 3 为9.

解析：设扇形半径为 R，内切圆半径为 r，

则(R－r)sin 60°＝r，即 R＝???1＋2 3 3???r.

又

S

1 扇形＝2α

R2＝12×23π

×R2＝π3

R2＝7＋94

3 π

r2，

∴πS扇r形2＝7＋94 3.